Проблема индекса для нелокальных эллиптических операторов и некоммутативная геометрия

В 1963 году Атья и Зингер дали формулу, выражающую индекс эллиптического дифференциального оператора на гладком замкнутом многообразии в терминах топологических инвариантов этого многообразия.
Дифференциальные операторы являются типичным примером локальных операторов. В то же время проблема индекса может быть поставлена и для операторов нелокального типа, например операторов, включающих сдвиги.
Богатый запас таких операторов доставляет нам некоммутативная геометрия. Это, например, дифференциальные операторы на некоммутативном торе (Конн). Коэффициенты этих операторов включают операторы сдвига, индуцированные иррациональными вращениями. Более общие примеры нелокальных операторов связаны с деформациями алгебр функций на торических многообразиях (Конн, Ланди) и т.п.
Мы изучаем общие нелокальные эллиптические операторы на гладком замкнутом многообразии, коэффициенты которых содержат операторы сдвига, порожденные действием некоторой дискретной группы диффеоморфизмов. В докладе будет рассказано о формуле индекса для операторов такого типа, полученной недавно В. Назайкинским, Б. Стерниным и докладчиком. При этом оказалось, что для получения формулы индекса естественно использовать язык и методы некоммутативной геометрии.
Все понятия, не входящие в стандартный курс, будут определены в докладе.