Асимптотический анализ и система гипотез в классической задаче Прандтля

Плоская задача о квазистатическом сжатии между недеформируемыми шероховатыми плитами тонкого идеальнопластического слоя (задача Прандтля) имеет хорошо известное аналитическое решение во всех точках, достаточно далёких от среднего сечения слоя и его концов. Это решение, как статическая так и кинематическая его составляющие, выведено на основе гипотезы Прандтля о линейности по толщине слоя касательного напряжения, принимающего своё максимальное по модулю значение на поверхностях плит (если плиты абсолютно шероховаты, то это значение есть предел текучести при сдвиге). Гипотеза Прандтля нашла широкое подтверждение в экспериментах, проводившихся после 1923 г., когда вышла в свет первая работа Л. Прандтля на эту тему.
Вместе с тем возникает вопрос о возможности построения классического решения данной задачи при отказе от каких-либо статических или кинематических гипотез, накладываемых на заранее неизвестные величины, и о существовании других математических решений, в которых эти гипотезы не реализуются и которые сами в эксперименте не наблюдаются.
В данной работе на основе асимптотического анализа с естественным малым геометрическим параметром единственным образом получено точное решение (в смысле конечности членов асимптотических разложений), совпадающее с обобщённым решением Прандтля на случай произвольного коэффициента шероховатости плит. Строго показана неправомерность таких асимптотик вблизи среднего сечения слоя, где построено другое, внутреннее, асимптотическое разложение. Решение, соответствующее внутреннему разложению, также точно в отмеченном выше смысле и моделирует сжатие тонкой вертикальной полоски в середине слоя. Осуществлены два возможных варианта сращивания указанных разложений в сечении, удалённом от середины на расстояние, равное толщине слоя.