Сферический маятник с колеблющейся точкой подвеса как тестовая система для многомерной неинтегрируемости (заседание, посвященное 45-летию С. А. Довбыша)

Периодически возмущаемый плоский маятник является удобной стандартной модельной системой малой размерности (с полутора степенями свободы) для обсуждения различных динамических эффектов, приводящих к неинтегрируемости, таких как расщепление сепаратрис, ветвление решений, самопересечение комплексных сепаратрис и рождение изолированных периодических решений (В. В. Козлов, С. Л. Зиглин, О. В. Холостова). Обычно рассматривается возмущение в виде малых колебаний точки подвеса. Ввиду маломерности системы, здесь применимы классические результаты о неинтегрируемости.
Однако, для сферического маятника аналогичные исследования, по-видимому, отсутствуют. Исключение составляет только статья Gruendler J. [SIAM J. Math. Anal., V. 16 (1985), no. 5, p.p. 907–931] (которая также обсуждается в Goriely A. and Tabor M. [Physica D, V. 85 (1995), no. 1–2, p.p. 93–125]), где расщепление сепаратрис изучается, на самом деле, для укороченных уравнений некоторой маятниковой системы.
Ранее автором были получены условия, относящиеся к трансверсальному пересечению сепаратрис или ветвлению решений в многомерных системах, которые гарантируют аналитическую (и даже мероморфную) неинтегрируемость в наиболее сильном смысле. В настоящем докладе обсуждается некоторые аспекты расщепления и самопересечения сепаратрис и ветвления решений для сферического маятника, точка подвеса которого совершает малые пространственные периодические колебания. В настоящей задаче условия рождения трансверсальных гомоклинических точек могут быть выражены в терминах решений одномерных уравнений. Кроме того, показано, что данная задача является очень удобной моделью для демонстрирования эффективности многомерных условий неинтегрируемости и для их дальнейшего обобщения и развития. Так, получены эффективные условия в терминах особенностей возмущающей функции на плоскости комплексного времени. В частности, если ускорение точки подвеса есть $ea(t)$ с малым параметром $e$ не равным нулю, и периодическим по времени $t$ вектором $a(t)$, то система неинтегрируема, если и вертикальная составляющая вектора $a(t)$ и любая нетривиальная линейная комбинация двух его горизонтальных компонент имеют (неустранимые) особенности. Весьма примечательно, что этот результат справедлив независимо от характера особенностей.
Это показывает гибкость обсуждаемых условий неинтегрируемости. Указанное обстоятельство является значительным достоинством развиваемого метода в сравнении с хорошо известным подходом С. Л. Зиглина.