Локальные условия регулярности дискретных множеств

Атомная структура идеального кристалла обладает очень высокой симметрией (кристаллографической группой). Основным мотивом локальной теории правильных систем, созданной в группе Б. Н. Делоне, была задача описать генезис этой симметрии («глобального порядка») в кристаллах в терминах «локальных» условий.
Согласно Е. С. Федорову, идеальный кристалл есть объединение конечного числа орбит $Gx$ точек $x$, где $G$ есть кристаллографическая группа. Орбита отдельной точки есть множество Делоне, на котором $G$ действует транзитивно, и называется правильной системой. Один из основных вопросов локальной теории – оценить радиус регулярности, то есть такое значение $R>0$, что из попарной конгруэнтности кластеров радиуса $R$ для всех точек данного множества $X$ вытекает правильность множества $X$. В рамках локальной теории были установлены необходимые и достаточные условия правильности и кристалличности множества Делоне, получены нетривиальные верхние и нижние оценки для радиуса регулярности.
Будет дан обзор последних результатов по локальной теории для правильных систем и кристаллов, а также ряда результатов по локальной теории квазикристаллов.