Производные категории когерентных пучков в алгебраической геометрии

Есть два важных класса геометрических объектов на многообразии — подмногообразия и векторные расслоения. В алгебраической геометрии и те и другие описываются в терминах категории когерентных пучков. С точки зрения гомологической алгебры, естественно изучать не только категорию когерентных пучков, но и ее производную категорию — категорию комплексов когерентных пучков с точностью до морфизма комплексов, индуцирующего изоморфизм их когомологий (квазиизоморфизма).
Производная категория когерентных пучков оказывается важнейшим алгебраическим инвариантом алгебраического многообразия. Часто многообразие можно восстановить по его производной категории (если его канонический класс обилен или антиобилен). В общем случае, вопрос об эквивалентности производных категорий различных многообразий тесно связан с их бирациональной геометрией. Кроме того, есть примеры многообразий, производная категория которых содержит производную категорию другого многообразия. Такая связь между производными категориями всегда имеет интересные проявления на геометрическом уровне.
В докладе будет дан обзор основных алгебро-геометрических понятий, связанных с производными категориями, таких как преобразования Фурье–Мукаи и полуортогональные разложения. Кроме того, я постараюсь описать связь производных категорий и бирациональной геометрии.