О гpаницах областей устойчивости циркуляционных систем

Рассмотрены задачи устойчивости для линейных автономных механических систем с неконсервативными позиционными силами (так называемых циркуляционных систем), гладко зависящих от вектора вещественных параметров. Показано, что такие системы могут терять устойчивость статически (дивергенция) и динамически (флаттер). Изучены бифуркации собственных значений, описывающие механизм статического и динамического типов потери устойчивости, и дана геометрическая интерпретация этих катастроф. Показано, что в случае общего положения границы между областями флаттера, устойчивости и дивергенции состоят из гладких гиперповерхностей коразмерности 1 в пространстве параметров, соответствующих появлению в матрице системы либо жордановой клетки второго порядка с двукратным вещественным собственным значением, либо наличию в спектре простого нулевого собственного значения. На некоторых гиперповерхностях более высоких коразмерностей, соответствующих матрицам с более сложной жордановой структурой, границы могут быть негладкими, образуя особенности. Для конечномерных циркуляционных систем, используя результаты Д. М. Галина о бифуркационных диаграммах вещественных матриц, зависящих от параметров, можно перечислить все особенности общего положения границ областей устойчивости при любом количестве параметров. В случае одного, двух и трех параметров приведены списки особенностей общего положения, возникающих на диаграммах устойчивости конечномерных циркуляционных систем. Границы областей устойчивости, флаттера и дивергенции исследованы как в регулярных, так и в особых точках; построены их линейные аппроксимации (касательные конусы). Геометрические характеристики границ, такие, например, как вектор нормали, выражаются явно через производные матрицы циркуляционной системы по параметрам и собственные и присоединенные векторы. Этот результат получен при помощи анализа бифуркаций собственных значений на границах при изменении параметров, основанного на теории возмущений собственных значений несамосопряженных операторов М. И. Вишика и Л. А. Люстерника (1960), а также с помощью изучения миниверсальных деформаций вещественных матриц.