Дискретные группы, порождённые отражениями, в пространствах Лобачевского

Я собираюсь рассказать об одном интересном классе дискретных групп движений пространств постоянной кривизны, а именно, о группах, порождённых отражениями в гиперплоскостях. Интересны они тем, что фундаментальной областью для действия такой группы является так называемый многогранник Кокстера с двугранными углами вида \pi/k. Благодаря этому свойству такие многогранники очень удобно описываются схемами (графами, диаграммами) Кокстера и их матрицами Грама.
История этого направления восходит еще к 19 веку, к работам Пуанкаре, Фрике и Клейна. В пространстве Евклида и на многомерной сфере многогранники Кокстера конечного объема были классифицированы Кокстером в 1933 году. Там такие многогранники существуют во всех размерностях (причем там конечность объема равносильна компактности).
А вот в n-мерном пространстве Лобачевского H^n классификация компактных многогранников Кокстера и многогранников Кокстера конечного объема намного сложнее. Оказалось, что (Винберг, 1984) Компактные многогранники Кокстера отсутствуют в пространствах H^n при n>29 (Прохоров-Хованский, 1986) Многогранники Кокстера конечного объема отсутствуют в пространствах H^n при n>995.
Но примеры таких многогранников известны только вплоть до размерностей n=8 и n=21 соответственно. Поэтому есть основания полагать, что указанные выше оценки можно еще улучшить, но этого никто не может сделать уже больше 30 лет. В докладе я расскажу про эти и другие известные открытые проблемы и полученные результаты. Постараюсь рассказать и о комбинаторно-геометрических аспектах этой теории.