Аннотация:
Для конечномерного векторного пространства $V$ рассматривается пространство $V((t))$ формальных петель со значением в $V$ с естественной топологией. Мы изучаем группу непрерывных автоморфизмов $\mathrm{GL}(V((t)))$ категорными методами. Строятся канонический $Z$-торсор «размерностей» $\mathrm{Dim}(V((t)))$ и канонический $C^*$-жерб «детерминантных теорий» $\mathrm{Det}(V((t)))$. Определив действие $\mathrm{GL}(V((t)))$ на $\mathrm{Det}(V((t))$, мы строим каноническое центральное расширение $\mathrm{GL}(V((t))$ с помощью этого действия.
Далее определяется символ Конту–Каррера на мультипликативной группе поля формальных рядов Лорана и интерпретируется в терминах построенного центрального расширения. Оказывается, что символ Конту–Каррера удовлетворяет соотношению Стейнберга и таким образом связан с ручным символом в алгебраической К-теории. Используя символ Конту–Каррера, мы доказываем классический закон взаимности для кривых над комплексным полем. Обсуждена возможность аналогичных построений для двумерных локальных полей и для алгебраических поверхностей.
|
