Аннотация:
Известная Проблема Кадисона–Зингера (ПКЗ, 1959), происходящая на самом деле из одной математической оплошности П. А. Дирака, — одна из наиболее старых нерешенных задач анализа (не говорим о гипотезе Римана…). Вопрос состоит в (недоказанной) единственности продолжения чистых состояний $C^*$-подалгебры алгебры операторов $L(H)$ на всю эту алгебру.
В последние годы было обнаружено, что ПКЗ эквивалентна десятку других нерешенных задач математики и ее приложений — о базисах гильбертова пространства, о замащивании бесконечных матриц, о разбиениях фреймов (frames), об обратимости конечных матриц с лидирующей диагональю, о тригонометрических суммах на канторовых множествах, о комбинаторных свойствах систем векторов в $\mathbf R^n$, и другим задачам. Некоторые из эквивалентных формулировок вызывающе элементарны и могут быть сформулированы в качестве упражнений к обычному курсу анализа 5-го семестра. С другой стороны, недавно появились указания на зависимость ПКЗ (и всего узла эквивалентных ей гипотез) от гипотезы континуума (которая, как известно, не зависит от аксиоматики Цермело–Френкеля).
|
