Гармонические отображения и поля Янга–Миллса

Изучаются гармонические отображения из компактных римановых поверхностей в комплексные кэлеровы многообразия. Такие отображения представляют интерес не только с чисто математической стороны, но и с точки зрения приложений в теории поля, где они интерпретируются как классические решения в сигма-моделях.
Для построения гармонических отображений мы пользуемся твисторным подходом, который позволяет свести “вещественную” задачу построения гармонических отображений в заданное многообразие к “комплексной” задаче построения псевдоголоморфных отображений в твисторное пространство этого многообразия. Пользуясь указанным подходом, можно получить, например, полное описание гармонических отображений компактных римановых поверхностей в комплексные грассмановы многообразия (Вуд).
В нашем докладе мы рассматриваем бесконечномерный вариант указанной теории. А именно, изучаются гармонические отображения компактных римановых поверхностей в бесконечномерные кэлеровы многообразия, являющиеся пространствами петель $\Omega G$ компактных групп Ли $G$.
Интерес к таким отображениям мотивирован теоремой Атьи–Дональдсона, согласно которой имеется взаимнооднозначное соответствие между пространством модулей $G$-инстантонов на 4-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^4$ и (центрированными) голоморфными отображениями римановой сферы в $\Omega G$. Основываясь на этом результате, можно предположить, что существует также взаимнооднозначное соответствие между пространством модулей $G$-полей Янга–Миллса на $\mathbb R^4$ и (центрированными) гармоническими отображениями римановой сферы в $\Omega G$.
Для построения гармонических отображений в пространство петель $\Omega G$, мы используем изометрическое вложение $\Omega G$ в бесконечномерное грассманово многообразие, т.н. грассманиан Гильберта–Шмидта комплексного гильбертова пространства. С помощью указанного вложения исходная задача сводится к задаче построения гармонических отображений в грассманиан Гильберта–Шмидта, которая решается путем бесконечномерного обобщения твисторной конструкции таких отображений в конечномерном случае.
Все необходимые сведения о гармонических отображениях будут сообщены в докладе.