Теорема о разбиении-разделении для марковских цепей

Пусть $M$ — конечное множество, $P$ — стохастическая матрица, $U=(Z_n)$ — семейство марковских цепей (МЦ), задаваемых $(M,P)$ и всевозможными начальными распределениями. Поведение такого семейства — классический результат теории вероятностей, полученный в 30-х годах прошлого века А. Н. Колмогоровым и В. Дёблином. Если стохастическую матрицу $P$ заменить на последовательность стохастических матриц $(P_n)$ и переходы в момент $n$ задавать матрицей $P_n$, то семейство $U$ становится семейством неоднородных МЦ. Существуют многочисленные результаты, описывающие поведение МЦ из $U$ при определенных предположениях о поведении $(P_n)$. Можно ли что-то сказать об их поведении, если не делать никаких предположений о поведении $(P_n)$?
Удивительный ответ на этот вопрос — Да. Его дает теорема, которую мы назвали теоремой о разбиении-разделении (РР-теорема). Она была инициирована небольшой заметкой А. Н. Колмогорова «К теории марковских цепей» (1936), сформулирована и доказана в несколько этапов в статьях Д. Блэквэла (1945), Г. Кона (1971, 1989) и автора (1987, 1991 (Теор. вероятн.), 1996). Последняя статья содержит краткий обзор других связанных с этой теоремой задач и результатов.
РР-теорема имеет также простую физическую интерпретацию в терминах простейшей модели необратимого процесса — системы чашек, наполненных раствором с различной концентрацией. Необратимость такого процесса проявляется в свойстве мартингальности некоторых случайных последовательностей, связанных с семейством МЦ. Поскольку пространство состояний МЦ конечно, эти мартингальные последовательности в каждый момент времени принимают не более чем $|M|$ значений и обладают некоторыми специальными свойствами, которые не вытекают из классических результатов Д. Дуба.
Мы расскажем также о некоторых новых результатах, но в общем РР-теорема оставляет много открытых вопросов и, по-видимому, может привести к интересным обобщениям не только в теории вероятностей.