Инварианты виртуальных узлов и другие задачи интегрируемых моделей статистической физики

Доклад будет состоять из двух коротких независимых частей.
В первой части доклада будет рассказано о конструкции инвариантов виртуальных узлов, которая получается из обобщения инвариантных статсумм, открытых Картером, Саито и др., для классических узлов. Комбинаторное понятие виртуального узла, предложенное Л.Кауфманом в 1996 г. , определяется как класс эквивалентности четырехвалентных плоских диаграмм со структурой проход/переход/виртуальный перекресток по изотопиям и обобщенным движениям Рейдемейстера. Одна из причин изучения такой комбинаторной теории виртуальных узлов состоит в том, что она имеет естественную эквивалентную геометрическую интерпретацию в терминах узлов в утолщенных поверхностях, которая была открыта Л.Кауфманом и другими исследователями. Поэтому представляется интересным построение нетривиальных инвариантов виртуальных узлов. Об одном классе таких инвариантов и будет рассказано в первой части доклада.
В второй части доклада будет рассказано о связи статсуммы модели Изинга с теорией инвариантов Татта. Модель Изинга является простейшим примером модели магнитного материала. Несмотря на свою простоту, эта модель не только интересна с физической точки зрения, но и связана с различными областями математике (результат Исраэля Сорина о NP-полноте вычисления статсуммы на конечной кубической решетки, результат Хопфилда о связи нейронных сетей и модели Изинга и т.п.). Также модель Изинга связана с перечислением различных интересных комбинаторных объектах на графах. Поэтому во второй части доклада будет рассказано о связи модели Изинга с перечислением Эйлеровых подграфов, на основе которого будет дано еще одно простое доказательство связи статсуммы модели Изинга с инвариантами Татта. Если останется время будет дан обзор результатов, касающихся связи перечисления Эйлеровых подграфов с перечислением совершенных паросочетаний на кубических графах.