Аннотация:
Содержание доклада мотивировано сравнением результатов нашей
последней работы, Арутюнов А.А., Мищенко А.С., (2018), (полный текст
представлен в журнале «Математический сборник»), а также работы
Арутюнова А.А., Мищенко А.С., Штерна, А.И., (2016), в которых описание
алгебры внешних дифференцирований групповой алгебры $R[G]$
конечно-представимой дискретной группы $G$ представлено в терминах
комплекса Кэли группоида $\cal G$ присоединенного действия группы $G$, с
результатами Бургеля (1985) и Benson (1995, 1991), которые описывают
гомологии и когомологии Хохшильда групповой алгебры $R[G]$ в терминах
классифицирующих пространств $BC\langle x\rangle$ централизаторов
$C\langle x\rangle$ сопряженных классов $\langle x\rangle$ группы $G$.
Пространство внешних дериваций имеет описание в виде одномерных
когомологий Хохшильда той же групповой алгебры (см. Книгу Р. Пирса
(1986), определение «a», стр. 248). Поэтому возникает естественный
вопрос: возможно ли описать все когомологии Хохшильда групповой алгебры
в терминах геометрических построений на группоиде сопряженного действия
группы по аналогии с внешними деривациями групповой алгебры?
Мы предлагаем единый способ описания гомологии и когомологий
Хохшильда групповой алгебры $C[G]$ в терминах классифицирующего
пространства $B\cal{G}$ группоида $\cal G$ присоединенного действие
группы $G$. В этих терминах гомологии Хохшильда групповой алгебры $C[G]$
совпадают с гомологиями классифицирующего пространства $B\cal{G}$.
Когомологии Хохшильда также можно отождествить с инвариантами
классифицирующего пространства $B\cal{G}$ группоида $\cal{G}$, а именно
с когомологиями этого пространства, но (в отличие от Бенсона) с
некоторыми условиями конечности для коцепей на пространстве $BC_G(g)$.
|
