Идемпотентная математика и математическая физика

Традиционную математику над числовыми полями можно трактовать как квантовую науку. Имеется и ее «классический аналог» — идемпотентная математика, т.е. математика над полуполями (и полукольцами) с идемпотентным сложением. Для идемпотентных полуполей выполнены все стандартные аксиомы кроме наличия вычитания; вместо этого выполняется свойство идемпотентности сложения: $x + x = x$. Типичным примером является алгебра Max-Plus, состоящая из вещественных чисел (и символа «минус бесконечность», играющего роль нуля) и имеющая операцию maximum в качестве сложения и обычное сложение в качестве (нового) умножения.
Переход от традиционной математики к идемпотентной можно рассматривать как процедуру деквантования при чисто мнимых значениях постоянной Планка. При этом уравнение Гамильтона–Якоби можно рассматривать как идемпотентную версию уравнения Шрёдингера, а вариационные принципы механики — как идемпотентную версию известного подхода Р. Фейнмана к квантовой теории на основе интегралов по траекториям. Идемпотентный принцип суперпозиции состоит в том, что многие задачи и уравнения (включая уравнения Гамильтона–Якоби и Беллмана, т.е. основные уравнения классической механики и теории оптимизации) являются линейными над подходящим идемпотентным полуполем или полукольцом. Это сильно облегчает анализ решений и позволяет заимствовать идеи из математической физики и других разделов математики. Имеется и (эвристический) идемпотентный принцип соответствия в духе принципа соответствия Н. Бора в квантовой теории. Это означает, что важным и интересным понятиям и результатам традиционной математики соответствуют важные и интересные понятия и результаты в идемпотентной математике. Например, идемпотентной версией преобразования Фурье является преобразование Лежандра.
Идемпотентная математика продвинута весьма далеко (в частности, построен идемпотентный функциональный анализ) и имеет многочисленные приложения (в особенности в задачах оптимизации и оптимального управления).