Аннотация:
Задача, которую мы стремимся решить, состоит в следующем. Рассматривается трехмерная система Гельмгольца, описывающая эволюцию вихря скорости вязкой несжимаемой жидкости, с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным и произвольным гладким начальным условием. Требуется найти импульсное управление с носителем в заданной подобласти трехмерного тора, которое обеспечивает стремление к нулю с ростом времени $L_2$-нормы решения (по пространственным переменным). Эта задача содержательна потому, что не решена проблема миллениума, т.е. не доказано существование гладкого решения трехмерной системы Гельмголца (или, что эквивалентно, системы Навье-Стокса). Квадратичный оператор, входящий в систему Гельмгольца, состоит из суммы нормального оператора $\Phi(y)y$, чей образ коллинеарен аргументу $y$, и тангенциального оператора $B _{\tau}(y)$, чей образ ортогонален аргументу $y$ в $L_2$. На первом этапе мы решаем задачу, убрав из системы Гельмгольца тангенциальный оператор $B _{\tau}(y)$. Как известно, у решения полученной задачи имеется явная формула, что позволяет решить задачу стабилизации. На втором этапе, после возвращения оператора $B _{\tau}(y)$ нами сделаны лишь первые шаги, точнее, получено некоторое решение задачи стабилизации, но не для системы Гельмгольца, а в случае модельной задачи для продифференцированного уравнения Бюргерса. Основное содержание доклада связано с изложением результатов второго этапа.
|
