Орбиты группы автоморфизмов алгебраического многообразия

Пусть $X$ – неприводимое комплексное алгебраическое многообразие и $\mathrm{Aut}(X)$ – группа его автоморфизмов. Орбиты группы $\mathrm{Aut}(X)$ на $X$ определяют естественную стратификацию многообразия. В докладе будут описаны орбиты группы $\mathrm{Aut}(X)$ для полных (Бажов) и аффинных торических многообразий. Также мы поговорим о классификации однородных относительно группы $\mathrm{Aut}(X)$ торических многообразий. Эти результаты основаны на комбинаторной конструкции корней Демазюра и линейной двойственности Гейла.
Теория колец Кокса позволяют сводить вопросы об автоморфизмах алгебраических многообразий к вопросам об автоморфизмах градуированных факториальных алгебр. Мы проиллюстрируем эффективность этого подхода на конкретных примерах.
Изучение автоморфизмов аффинного пространства тесно связано с известными открытыми вопросами – проблемой якобиана, проблемами сокращения, выпрямления и линеаризации, характеризацией ручных и диких автоморфизмов. Мы сформулируем эти проблемы и кратко расскажем о последних достижениях в этой области. В случае аффинных многообразий мы подробно остановимся на важном эффекте - бесконечной транзитивности действия группы специальных автоморфизмов $\mathrm{SAut}(X)$ на открытой орбите. Недавно выяснилось, что бесконечная транзитивность имеет место уже для подгрупп группы автоморфизмов, порожденных конечным числом одномерных аддитивных подгрупп.
Доклад основан на результатах совместных работ с И.Бажовым, С.Гайфуллиным, М.Зайденбергом, К.Куюмжиян, Ю.Хаузеном и другими коллегами.