Электрические сети как модели статистической физики

Электрические сети как предмет изучения был заложен в работах Ома и Кирхгофа. В простейшем описании это граф с выделенным подмножеством множества вершин и функцией со значениями в положительных вещественных числах, заданной на нем. Эта функция называется вектором потенциалов. По этим данным закон Ома и правило Кирхгофа производят новую функцию на этом подмножестве-вектор токов. Полученное таким образом линейное отображение задается матрицей, которую называют матрицей отклика. Это важнейший инвариант электрических многообразий-кластерных многообразий определенных электрическими сетями. В этом докладе, основанном на совместной работе с Дмитрием Талалаевым, мы опишем новый подход к описанию электрических сетей. Интерпретируя закон Ома как интересное решение уравнения Янга-Бакстера, мы описываем электрические сети как вершинные модели статистической физики. Граничная статистическая сумма нашей модели является новым полным инвариантом электрических сетей, те воспроизводит матрицу отклика. В таком описании кластерная структура получается как деформация кластерной структуры обнаруженной Беренштейном, Фоминым и Зелевинским при изучении многообразий Люстика связанных с вполне положительностью унипотентных матриц. Мы также опишем другие новые математические структуры связанные с электрическими сетями, которые вытекают из нашего описания.