Геометрия нодальных множеств

Нодальными множествами называют нули собственных функций оператора Лапласа. В случае двумерных областей нодальные множества суть гладкие кривые, которые делят область на несколько компонент связности, называемых нодальными областями. Топология нодальных областей может быть довольно сложной, но количество нодальных областей и длину нодальных линий можно оценить в терминах собственных чисел. Нодальная теорема Куранта гласит, что $k$-ая собственная функция для задачи Дирихле имеет не больше $k$ нодальных областей, а гипотеза Яу состоит в том, что длина нодальных линий сравнима с корнем из $k$.
Мы расскажем о нескольких недавних результатах в этой области и нескольких открытых вопросах. Лекция будет ориентирована на студентов и не предполагает предварительных знаний про собственные функции.