О супераналоге отображения Плюккера

Супергеометрия возникла в 1970-х гг. как ответ на запрос физиков о геометрическом основании для возникших в то время моделей с суперсимметрией. (Отсюда приставка "супер".) Надо заметить, что Ф. А. Березин развивал программу супергеометрии (до появления термина) на протяжении 1960х–начала 1970х гг.. Условной точкой перехода супергеометрии в "явную форму" можно считать публикацию определения супермногообразия в 1975 в работе Березина-Лейтеса. Аналоги классических конструкций в супергеометрии оказались востребованными для разнообразных задач, а аналогия связей между классическими конструкциями оказалась идущей весьма далеко. Так, например, классификация простых супералгебр Ли, данная В. Кацем, тесно связана с понятиями "супер линейной алгебры" и супергеометрии (так же, как классические алгебры Ли связаны с геометрическими структурами). Разумеется, в супергеометрии возникли и совершенно новые явления, примерами чего могут служить теория суперформ или нечетная симплектическая структура (важная в методе квантования Баталина-Вилковыского). Изучение супергеометрических структур отнюдь не исчерпано, например, только недавно были получены результаты об объемах некоторых классических супермногообразий (см. работу докладчика Sbornik: Mathematics 207 (11) (2016), 1512-1536, отправной точкой которой был контрпример к предположению Виттена; совсем недавно Виттен сделал еще новое продвижение в этом вопросе).
В докладе мы расскажем о супераналоге отображения Плюккера (ранее не известном). Напомним, что классическое отображение Плюккера задано для многообразия Грассмана $k$-мерных плоскостей $L$ в $n$-мерном векторном пространстве $V$. Оно сопоставляет плоскости $L$ с базисом $u_1, \ldots, u_k$ ненулевой поливектор $u_1\wedge \ldots \wedge u_k$ (с точностью до пропорциональности). Это вложение многообразия Грассмана $G_k(V)$ в проективное пространство $P(\Lambda^(V))$. Его образ описывается полиномиальными уравнениями, которые называются соотношениями Плюккера.
Супермногообразие Грассмана $r|s$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве $V$ было введено Маниным в начале 1980-х годов в связи с формализмом Радона-Пенроуза. (Как известно, классическое многообразие Грассмана $G_2(\mathbb{C}^4)$ в физике фигурирует как "компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского". Его суперварианты аналогично связывают с "суперпространством Минковского".) Точно так же, как классическое, супер многообразие Грассмана есть "универсальное пространство параметров" для плоскостей $L\subset V$. Его размерность есть $(r|s)(n|m-r|s)=r(n-r)+s(m-s)| r(m-s)+s(n-r)$ (т.е., $r(n-r)+s(m-s)$ четных координат и $r(m-s)+s(n-r)$ нечетных координат). Во многом свойства супермногообразия Грассмана совершенно аналогичны классическим (например, на нем имеются супераналоги римановой и симплектической структуры). Однако при этом считалось, что аналога отображения Плюккера в суперслучае не существует, кроме, возможно, "вырожденных случаев". Причем и эти "вырожденные случаи" тоже не были рассмотрены в литературе (за исключением одного примера, рассмотренного физиками в 2011 г.). Глубинная причина этого — трудности с супераналогом внешних форм и поливекторов, а еще глубже — рациональность функции Ber (аналога детерминанта).
Тем не менее, супераналог отображения Плюккера существует. В докладе будет рассказано, как его построить.
Пусть $G_{r|s}(V)$ — супермногообразие Грассмана $r|s$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве $V$. Отображение "супер-Плюккера", которое мы строим, есть рациональное отображение
$$ G_{r|s}(V) \to P_{+1,-1}\bigl(\Lambda^{r|s}(V)\oplus \Lambda^{s|r}(\Pi V)\bigr), $$
где $\Lambda^{r|s}(V)$ обозначает пространство $r|s$-векторов в пространстве $V$ (определение будет дано в докладе), а $\Pi$ есть функтор обращения четности. (Один из нетривиальных моментов — понять, что заменяет внешнее произведение векторов базиса.) В правой части стоит своего рода "взвешенное проективное пространство". Мы покажем, что это отображение есть вложение. В случае $s=0$, т.е., чисто четных $r$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве вложение сводится к полиномиальному. Это самый простой (если угодно, "вырожденный") случай, который исследуется до конца, и где получается простейший вариант "суперсоотношений Плюккера". Этот простейший случай уже интересен, например, тем, что связан с гипотетическим супераналогом кластерных алгебр.
Несколько лет назад О.М. Худавердян предложил некоторый "неклассический" подход к соотношениям Плюккера, основанный на идеях супергеометрии. Мы показали, что "соотношения Худавердяна" равносильны соотношениям Плюккера (классическим и супер) при $r|s=2|0$ и любом $n|m$. (А в общем случае являются их следствием.) Если позволит время, мы расскажем об этом тоже.
(Доклад основан на совместной работе с Е.С. Шемяковой, University of Toledo, Ohio. См. arXiv:1906.12011)