О полиномиально интегрируемых бильярдах на поверхностях постоянной кривизны

Знаменитая гипотеза Бирхгофа относится к ограниченным плоским бильярдам $\Omega$ со строго выпуклой гладкой границей. Частица движется в области $\Omega$ с постояной скоростью, и при соударении с границей она отражается и движется в отраженном направлении со скоростью, имеющей тот же модуль, и т.д. Бильярд называется интегрируемым по Бирхгофу, если вышеупомянутая динамическая система имеет первый интеграл, независимый с модулем скорости, на некоторой окрестности единичного касательного расслоения границы (окрестности в касательном расслоении над $\overline\Omega$). Если $\partial\Omega$ – эллипс, то существует нетривиальный интеграл, квадратичный по скоростям. Гипотеза Бирхгофа утверждает, что всякий выпуклый плоский бильярд, интегрируемый по Бирхгофу, есть эллипс. Недавно В.Ю.Калошин и А.Соррентино доказали её локальную версию: всякая интегрируемая по Бирхгофу деформация эллиптического бильярда есть эллипс [5].
Полиномиальная версия гипотезы Бирхгофа, сформулированная и частично исследованная С.В.Болотиным в 1990 г., относится к полиномиально интегрируемым бильярдам, для которых существует первый интеграл, полиномиальный по скоростям, ограничение которого на единичное касательное расслоение не постоянно.
В докладе будет представлен краткий обзор гипотезы Бирхгофа и полное решение её полиномиальной версии. Будет доказано, что всякий ограниченный полиномиально интегрируемый плоский бильярд с $C^2$-гладкой нелинейной связной границей есть эллипс. Мы докажем аналогичный результат на поверхностях постоянной кривизны (плоскости, сфере, плоскости Лобачевского) и классифицируем полиномиально интегрируемые бильярды с кусочно-гладкими границами на каждой из этих поверхностей. Это – совместные результаты М.Бялого, А.Е.Миронова и докладчика [1, 2, 3, 4].



Литература
[1] Bialy, M.; Mironov, A.E. Angular billiard and algebraic Birkhoff conjecture. Adv. in Math. 313 (2017), 102–126.
[2] Bialy, M.; Mironov, A.E. Algebraic Birkhoff conjecture for billiards on Sphere and Hyperbolic plane. J. Geom. Phys., 115 (2017), 150–156.
[3] Glutsyuk, A. On polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature. - To appear in J. Eur. Math. Soc.
Available at https://arxiv.org/abs/1706.04030
[4] Glutsyuk, A. On two-dimensional polynomially integrable Birkhoff billiards on surfaces of constant curvature. Doklady Mathematics, 98 (2018), No.1, 382–385.
[5] Kaloshin, V.; Sorrentino, A. On local Birkhoff Conjecture for convex billiards. Ann. of Math., 188 (2018), No. 1, 315–380.