Аннотация:
Сингулярным зацеплением или зацепляющим отображением (link map) называется отображение $X_1\sqcup\ldots\sqcup X_m \to Y$, такое что образы разных $X_i$ попарно не пересекаются; а зацепляющей гомотопией (link homotopy) называется гомотопия в классе сингулярных зацеплений. Например, сингулярные зацепления $S^p\sqcup S^q \to S^{p+q}$ классифицируются (с точностью до зацепляющей гомотопии) коэффициентом зацепления, а сингулярные зацепления $S^1\sqcup S^1 \sqcup S^1 \to S^3$ классифицируются попарными коэффициентами зацепления и тройным $\bar{\mu}$-инвариантом Милнора.
Р.Фенн и Д.Ролфсен (1986) придумали нетривиальное сингулярное зацепление $S^2\sqcup S^2 \to S^4$, используя, что каждая компонента зацепления Уайтхеда нульгомотопна в дополнении другой. П.Кирк (1988) придумал инвариант сингулярных зацеплений $S^2\sqcup S^2 \to S^4$ со значениями в бесконечно порожденной свободной абелевой группе и нашел его образ. Проблема инъективности этого инварианта оказалась весьма нетривиальной. Так, журнал Topology (1997) опубликовал ее отрицательное решение, а журнал Annals of Mathematics (2019) публикует положительное (П.Тайхнер и Р.Шнайдерман, arXiv:1708.00358).
Естественное обобщение инварианта Кирка на сингулярные зацепления $m$ экземпляров $S^2$ в $S^4$ выписал У.Кошорке (1991). Теорема 1: инвариант Кирка-Кошорке не инъективен при $m>2$. Для доказательства вводится новый “неабелев” инвариант $m$-компонентных зацеплений в $S^4$, который, грубо говоря, отностится к “абелеву” инварианту Кирка-Кошорке так же, как $\bar{\mu}$-инварианты Милнора — к попарным коэффициентам зацепления.
Для сингулярных зацеплений $S^2\sqcup S^2\sqcup S^2 \to S^4$ также найден образ инварианта Кирка-Кошорке (теорема 2). Основной шаг — новая элементарная конструкция брунновых сингулярных зацеплений $S^2\sqcup \ldots \sqcup S^2 \to S^4$, тесно связанная с минимальным решением головоломки меледа (Chinese Rings puzzle).
Сингулярные зацепления в $S^4$ важны для понимания классических зацеплений. Около 12 лет назад я рассказывал на Постниковском семинаре, как вычисление образа инварианта Кирка сингулярных зацеплений $S^2\sqcup S^2 \to S^4$ позволяет передоказать классификацию Наканиши-Ойямы (2003) зацеплений $S^1\sqcup S^1 \to S^3$ относительно покомпонентных $C_2$-движений (arXiv:1711.03514, опубликовано в JKTR 2018). А теорема 2 имеет следующее применение (теорема 3): два зацепления $S^1\sqcup S^1\sqcup S^1 \to S^3$, зацепляюще гомотопные тривиальному, имеют равные $\bar{\mu}$-инварианты длины не более 4 (с повторами индексов), если и только если они связаны $C_2^{xxx}$-движениями (=покомпонентными $C_2$-движениями) и $C_3^{xx,yz}$-движениями (Гусарова-Хабиро).
|
