Аннотация:
Эквивариантной компактификацией связной алгебраической группы $G$ называется компактное (полное) алгебраическое многообразие $X$ c действием группы $G$, имеющее открытую орбиту с тривиальным стабилизатором, которую можно отождествить с самой группой $G$. В случае, когда группа $G$ есть алгебраический тор, эквивариантные компактификации суть не что иное, как (компактные) торические многообразия, теория которых хорошо разработана. Случай, когда $G$ — это аддитивная группа векторного пространства, изучен гораздо меньше, и надежд на полную классификацию эквивариантных компактификаций нет.
Можно зайти с другой стороны и поставить вопрос так: является ли данное компактное многообразие $X$ эквивариантной компактификацией аддитивной группы $G$, и если да, то как описать все эквивариантные компактификации группы $G$ посредством многообразия $X$ (т. е. соответствующие действия $G$ на $X$) с точностью до естественной эквивалентности. В случае, когда $X$ — проективное пространство, ответ даёт соответствие Хассета–Чинкеля между эквивариантными компактификациями аддитивной группы и конечномерными локальными коммутативными алгебрами. В ряде других случаев, в частности для обобщённых многообразий флагов $X=G/P$, было доказано, что реализация многообразия $X$ в виде эквивариантной компактификации аддитивной группы единственна (если существует).
В работе Фу и Хвана (Math. Res. Lett. 21 (2014), no. 1, 121-125, arXiv:1301.5486) было найдено концептуальное объяснение этому феномену. Основным результатом работы является следующая теорема: многообразие Фано с числом Пикара 1, отличное от проективного пространства и имеющее гладкое многообразие минимальных рациональных касательных в точке общего положения, не более чем одним способом реализуется в виде эквивариантной компактификации аддитивной группы. Доказательство основано на геометрии минимальных рациональных кривых на многообразиях Фано и многообразий касательных направлений к таким кривым в точках общего положения.
|
