$n$-гомоморфизмы и кольца полисимметрических полиномов

Первая часть доклада посвящена результатам, полученным совместно с Е. Г. Рисом. Мы обсудим понятие $n$-гомоморфизма и основные шаги доказательства теорем, которые привели к характеризации многообразий полисимметрических полиномов и симметрических произведений аффинных алгебраических многообразий как алгебраических подмногообразий в линейном пространстве, двойственном кольцу полиномов (см. [1], [2]).
Вторая часть доклада посвящена результатам, полученным недавно совместно с А. В. Михайловым на основе статьи [3]. В центре внимания будет классическая задача о структуре координатного кольца рационального алгебраического многообразия $(\mathbb{C}^2)^n/S_n$, где $S_n$ — группа перестановок сомножителей на прямом произведении пространств $\mathbb{C}^2$. Это кольцо является биградуированным кольцом Коэна–Маколея и кольцом Горенштейна. Фактор этого кольца по регулярной однородной последовательности длины $2n$ обладает конечным биградуированым однородным базисом с биградуированной двойственностью Пуанкаре и каноническим вложением в тензорный квадрат кольца полиномов Шуберта. Для малых $n$ мы дадим явное описание полученных структур.
Литература
[1] V. M. Buchstaber, E. G. Rees, The Gelfand map and symmetric products, Selecta Math. (N.S.), 8:4, 2002, 523–535.
[2] В. М. Бухштабер, Е. Г. Рис, Кольца непрерывных функций, симметрические произведения и алгебры Фробениуса, УМН, 59:1(355), 2004, 125–144.
[3] В. М. Бухштабер, А. В. Михайлов,  Полиномиальные гамильтоновы интегрируемые системы на симметрических степенях плоских кривых, УМН, 73:6(444), 2018, 193–194.