Аннотация:
Пусть $S$ — редуктивная алгебраическая группа, а $\mathfrak g$ — алгебра Ли. Тогда $S$-структурой на алгебре Ли $\mathfrak g$ называется гомоморфизм $\Phi \colon S \to \operatorname{Aut} \mathfrak g$. В работах Э. Б. Винберга были хорошо изучены короткие $\mathrm{SO}_3$-, $\mathrm{SL}_2$- и $\mathrm{SL}_3$-структуры. Мы же в качестве $S$ возьмём группу $\mathrm{SL}_2^n(\mathbb C)$ и будем считать алгебру Ли $\mathfrak g$ простой. В этом случае дифференциал отображения $d\Phi$ является представлением алгебры $\mathfrak{sl}_2^n$. Под действием этого представления алгебра $\mathfrak{sl}_2^n$ естественными образом вкладывается в алгебру Ли $\mathfrak g$.
Будем называть полученную $S$-структуру короткой клеточной структурой на простой алгебре Ли $\mathfrak g$, если выполнены следующие условия:
1. Представление каждой копии $\mathfrak{sl}_2$ в $\mathfrak g$ раскладывается в прямую сумму неприводимых представлений размерностей 1, 2 и 3.
2. Образ алгебры $\mathfrak{sl}_2^n$ является максимальным в том смысле, что прямая сумма централизатора этого образа в алгебре Ли $\mathfrak g$ вместе с прямой суммой картановских подалгебр всех копий алгебры $\mathfrak{sl}_2$ совпадает с картановской подалгеброй всей алгебры Ли $\mathfrak g$.
Нашей целью будет изучить короткие клеточные структуры на простых классических и особых алгебрах Ли и показать, что в случае особых алгебр Ли короткие клеточные структуры удивительным образом оказываются связанными с известными линейными кодами.
|
