Аннотация:
Хорошо известно еще с пионерских работ Мори, что геометрия
многообразий Фано во многом контролируется рациональными кривыми. В 90-х годах
прошлого века эта философия приобрела дифференциально-геометрический
аспект в работах Хвана (J.-M. Hwang) и Мока (N. Mok) с соавторами. На
многообразиях Фано с числом Пикара 1 можно рассматривать рациональные
кривые минимальной степени и определить многообразие минимальных
рациональных касательных (variety of minimal rational tangents, VMRT) в
точке общего положения как совокупность касательных направлений к таким
кривым, проходящим через данную точку. Это подмногообразие в
проективизации касательного пространства является проективным
дифференциально-геометрическим инвариантом многообразия Фано. Как
оказалось, во многих случаях VMRT в значительной степени определяет
геометрию исходного многообразия.
В частности, Хван и Мок предложили программу характеризации обобщенных
грассманианов (т.е. факторпространств простых алгебраических групп по
максимальным параболическим подгруппам) в классе многообразий Фано с
числом Пикара 1 по VMRT. Недавно эту программу удалось завершить (J.-M.
Hwang, Q. Li и докладчик). Доказательство основного результата интересно
тем, что сочетает методы как "чистой" алгебраической геометрии, так и
дифференциальной геометрии, а также технику полупростых алгебр Ли и
алгебраических групп преобразований и, в частности, теорию сферических
многообразий. Есть перспектива применения разработанных методов к
изучению геометрии других многообразий Фано, наделенных (почти)
транзитивным действием линейной алгебраической группы. Я расскажу о
схеме и основных идеях доказательства.
|
