Асимптотические оценки числа пороговых функций и числа вырожденных $\{\pm 1\}$-матриц

В докладе будет рассказано о двух результатах, касающихся числа $P(2, n)$ пороговых функций и вероятности $P_n$ вырожденности случайной $n\times n$ $\{\pm 1\}$-матрицы. С помощью специально определенной супермодулярной функции на конечных подмножествах $n$-мерного проективного пространства устанавливается связь между $P(2, n)$ и $P_{n+1}$ в виде новой нижней оценки для $P(2, n)$, что в совокупности со знаменитой верхней оценкой L.Schläfli середины 19 века дает асимптотику $P(2, n)$:
$$P(2, n) = 2(1 - o_n(1)) \binom{2^n-1}{n}.$$

Также подход, разработанный автором, позволяет доказать верность гипотезы середины 70-х годов ХХ века:
$$P_n = (1+o_n(1)) n^2/2^{n-1}.$$