Фрактальная арифметическая комбинаторика

Одним из основных объектов изучения арифметической (аддитивной) комбинаторики являются эспандеры. Функция $f\colon \mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}$ является эспандером, если для некоторого $\delta>0$ и всякого конечного множества $A\subset \mathbb{R}$ верно следующее:
$$ |f(A,A,...,A)| \ge |A|^{1+\delta}, $$
т.е. образ функции $f$ на множестве $A\times...\times A$ имеет существенно большую мощность, чем само множество $A$. При этом на множество $A$ могут накладываться дополнительные ограничения, которые бывают, как правило, двух типов: ограничения на мощность и ограничения на структуру. К структурным ограничениям относят, например, условие малого удвоения $|A+A| \ll |A|$. В случае кольца $\mathbb{F}_q$ вместо кольца $\mathbb{R}$ можно также рассматривать условие подгруппы: $AA=A$ или $A+A=A$.
Другое направление исследований заключается в том, чтобы исследовать (бесконечные) множества $A\subset \mathbb{R}$ положительной размерности Хаусдорфа. В этом случае эспандером называется функция, которая "повышает" хаусдорфову размерность множества:
$$ \dim_H f(A,A,...,A) > (1+\delta)\dim_H A $$
или, слабее,
$$ \dim_H f(A,A,...,A) > \dim_H A. $$

Мы обсудим некоторые продвижения в этом направлении, а также некоторые следствия из него. В частности, следующее.
Следствие 1. Существует возрастающая последовательность натуральных чисел $a_n$, что для всякого $s<2$ верно следующее. Пусть $x$ — действительное число. Тогда для него найдутся числа $x_1,x_2,x_3,x_4,$ а также число $r$, что
$$x=x_1x_2+x_3x_4,$$
и для всех $x_j,\ a_n,\ j\in\{1,2,3,4\},\ n\in \mathbb{N}$ выполняется $\| a_n x_j \| \le a_n\ \frac{r}{a_n^s}.$
Здесь $\|x\|$ обозначает ближайшее к $x$ целое число. При этом в качестве $a_n$ подойдет последовательсность $a_1=2, a_{n+1}=a_n^n$.