Торическая топология сложности один

Пусть k-мерный компактный тор эффективно действует на 2n-мерном многообразии и при этом имеет изолированные неподвижные точки. Неотрицательное число n-k называется сложностью действия. Действия сложности ноль являются классическим объектом изучения в торической топологии: к ним относятся неособые торические многообразия, квазиторические многообразия, тор-многообразия.
Нас интересуют торические действия сложности один, а именно, взаимосвязь топологии многообразия и структуры его пространства орбит. В 2014 году Бухштабер и Терзич доказали, что пространство орбит комплексного грассманиана $G_{4,2}$ по действию тора (а оно как раз имеет сложность один) гомеоморфно сфере. Они также доказали аналогичный результат для действия сложности один на многообразии полных флагов $F_3$.
После рассмотрения ряда других примеров, нам удалось доказать общий результат. Пусть (1) веса касательного представления в каждой неподвижной точке находятся в общем положении, (2) нечетные когомологии многообразия нулевые (условие эквивариантной формальности). Тогда его пространство орбит является гомологической сферой. В некотором смысле, верно и обратное утверждение: по топологической и комбинаторной структуре пространства орбит можно делать вывод об эквивариантной формальности многообразия. В эквивариантно формальном случае структура пространства орбит определяет числа Бетти многообразия. А в больших размерностях, видимо, и его кольцо когомологий через конструкцию алгебры граней.
Если же отбросить требование общего положения касательных весов, то пространства орбит эквивариантно формальных действий могут иметь практически произвольную топологию.
В докладе будет дан обзор конструкций и результатов, полученных в совместных работах докладчика с Масудой и Черепановым.