Деление без зависти и степень отображения (по совместным работам с С.Аввакумовым и С.Кудря)

Мы обсудим классические проблемы математической экономики, в частности, так называемые задачи деления без зависти. Классический подход к таким задачам приводит к рассмотрению непрерывных отображений симплекса в себя и нахождению достаточных условий того, чтобы это отображение задевало центр симплекса. Помимо непрерывности для этого требуются некоторые граничные условия, например, так получаются теоремы Кнастера-Куратовского-Мазуркевича и Гейла.
В определённых задачах о делении отрезка без зависти граничных условий нет, но есть некоторые условия на отображения, напоминающие эквивариантность относительно группы перестановок (которая естественно переставляет вершины симплекса). В нашей работе мы называем их «псевдоэквивариантность». В рассматриваемой нами задачи эта псевдоэквивариантность позволяет найти решение в случае, когда количество игроков, делящих отрезок без зависти, равно степени простого. Ранее эту задачу рассматривали Эрель Сегаль-Халеви, Фредерик Мёнье и Шира Зербиб, они доказали утверждение для простого количества игроков и для четырёх игроков.
Более того, мы показываем, что если количество игроков не является степенью простого, то некоторые экземпляры задачи деления отрезка без зависти могут не иметь решения.
Для настоящей эквивариантности мы тоже строим отображения симплекса в себя, не задевающие центр. Это можно сделать в случае, когда количество вершин симплекса не является степенью простого и не является удвоенной степенью простого. Существование таких отображений тоже имеет экономические следствия, оно позволяет строить экземпляры задачи деления без зависти выпуклого тела в евклидовом пространстве на части равного объёма, не имеющие решения.
Sergey Avvakumov and Roman Karasev. {Envy-free division using mapping degree.} {arXiv:1907.11183}.
Sergey Avvakumov, Roman Karasev, Arkadiy Skopenkov. {Stronger counterexamples to the topological Tverberg conjecture.} {arXiv:1908.08731}.
Sergey Avvakumov and Sergey Kudrya. {Vanishing of all equivariant obstructions and the mapping degree.} {arXiv:1910.12628}.