Ветвящиеся случайные блуждания со знакопеременными источниками

Ветвящиеся случайные блуждания (ВСБ) представляют собой процесс с генерацией и транспортом частиц, где генерация частиц описывается ветвящимся процессом. Мы рассматриваем модели ВСБ с конечным и бесконечным числом начальных частиц, знакопеременными источниками ветвления, одним или несколькими типами частиц.
В работе представлены следующие результаты:

• доказана простота старшего собственного значения эволюционного оператора, позволяющая получить предельные теоремы о пространственном распределении поля частиц в каждой точке в случае знакопеременных источников для ветвящегося случайного блуждания с нарушением симметрии в конечном числе узлов решетки и одной начальной частицей;
• для ВСБ с бесконечным числом начальных частиц найдены зоны “перемежаемости” в случае надкритического закона ветвления частиц в каждой точке решетки;
• для критического ВСБ с гибелью и делением на двух потомков получено асимптотическое поведение условного совместного второго момента субпопуляции фиксированной начальной частицы;
• для ВСБ с возвратным блужданием и критическим ветвящимся процессом доказана сходимость распределения поля частиц к стационарному;
• изучены условия кластеризации частиц в ВСБ с несколькими типами частиц, где процесс размножения и гибели задается критическим ветвящимся многотипным процессом в каждой точке решетки;
• модель многотипного ВСБ применена к исследованию иммунологического процесса, найдены решения уравнений первых моментов численностей частиц каждого из типов;
• проведено численное моделирование ВСБ с источником ветвления в каждой точке решетки, иллюстрирующее образование кластеров в случае возвратного случайного блуждания.