Краткая история "малых накрытий" в Сибири

Цель доклада рассказать об истории возникновения и развития теории “малых накрытий” в Сибирской геометрической школе.
Основная задача, на решение которой были направлены основные усилия, заключалась в попытке создать теорию автоморфизмов замкнутых трехмерных гиперболических многообразий подобно тому, как это делается в теории римановых поверхностей. Поскольку классификация трехмерных многообразий не известна до сих пор, основной уклон был сделан на изучение “малых” (скажем с смысле объема) гиперболических многообразий. История вопроса естественным образом распадается на несколько этапов.
1 этап. Со слов Э.Б. Винберга (примерено 1980) узнаем, что первый пример замкнутого ориентируемого гиперболического многообразия построил Ф. Лебелль [1], а не Зейферт и Вебер [2], работа которых опубликована двумя годами позже.
2 этап (примерено 1984). Пытаясь прочитать работу Лебелля, обнаруживаем, что построенное им многообразие получается склейкой 8 экземпляров прямоугольного 14 гранника Лебелля в соответствие с окраской его граней в четыре цвета. Результаты отражены в дипломной работе А.Ю. Веснина (1985) и в публикациях [4] и [5].
3 этап. Был известен пример замкнутого неориентируемого гиперболического многообразия, построенного Аль Джубори [3a]. Построенное им многообразие получалось склейкой восьми экземпляров гиперболического додекаэдра с прямыми двугранными углами. Считалось, что это первый пример замкнутого неориентируемого гиперболического многообразия. Обнаруживается (работу нашел А.Ю. Веснин), что и здесь Лебелль был первым. В работе [3], по прежнему используя 8 экземпляров прямоугольного 14 гранника, он построил замкнутое неориентируемое гиперболическое многообразие. По видимому, эта работа очень мало известна, поскольку читать ее невероятно трудно. Однако и здесь можно использовать окраску граней произвольного прямоугольного многогранника в пять цветов, чтобы построить неориентируемое многообразие. Как это сделать, подробно описано в работах [5] и [6]. Отметим, что независимо от нас окраску в 4 цвета для построения “малых накрытий” использовал японский математик Мото-О Такахаши. См. его работу [15] и популярный обзор [14].
4 этап. Построение трехмерных гиперэллиптических многообразий в восьми геометриях Терстона. В пяти из них используются прямоугольные многогранники и гамильтоновы циклы на них. Общая конструкция дана в мох работах [7] и [8].
5 этап. Построение трехмерных гиперболических многообразий с использованием негамильтоновых прямоугольных многогранников. Важные классы: тэта–гамильтоновы и К_4-гамильтоновы многогранники. Это работы [11] и [12].
6 этап. Построение трехмерных гиперболических многообразий с многими гиперэллиптическими инволюциями (работа [13] и последующие за ней). В частности, на этом этапе, были описаны гиперэллиптические инволюции, действующие на десяти первых по объему замкнутых ориентируемых гиперболических многообразиях. Изложенные идеи нашли продолжение в работах наших коллег Макото Сакумы, Бруно Циммерманна и их учеников.
[1] Frank Richard Löbell, "Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford-Kleinscher Räume negative Kriimmung," Ber. Sichs. Akad. Wiss. Leipzig, 83, 167-174 (1931).
[2] H. Seifert and C. Weber, "Die beiden Dodekaederräume," Math. Z., 37, 237-253 (1933).
[3] Frank Richard Löbell, “Zur Konstruktion geschlossener Clifford-Kleinscher Räume negativer Krümmung”, Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse 1955, 175–185.
[3a] N. K. Al-Jubouri, On non-orientable hyperbolic 3-manifolds, The Quarterly Journal of Mathematics, Vol. 31, Iss. 1, 1980, 9–18.
[4] A. Mednykh, A. Vesnin, On three-dimensional hyperbolic manifolds of Lobell type, in: Complex Analysis and Applications'85, eds.: L. Iliev and I. Ramadanov, Sofia, Publ. House of Bulgarian Acad. Sci. 1986), 40-44.
[5] А.Ю. Веснин, Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля, Сиб. матем. журн. 28:5 (1987), 50-53. Translated in Siberian Math.J. 28:5 (1987), 731-734.
[6] Mednykh, A. D. Automorphism groups of three-dimensional hyperbolic manifolds. Algebra and analysis (Tomsk, 1989), 107–119, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 151, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992. MR1191175 (93m:57015)
[7] Mednykh, A. D. Hyperelliptic Riemann surfaces and three-dimensional manifolds. Proceedings of the Second Soviet-Japan Joint Symposium of Topology (Khabarovsk, 1989). Questions Answers Gen. Topology 8 (1990), no. 1, 273–281. MR1043225 (91b:57013)
[8] Mednykh, A.D. Three-dimensional hyperelliptic manifolds, Ann. Global Anal. Geom., 8:1 (1990), 13–19. [MR1075236]
[9] А. Ю. Веснин, “Трехмерные гиперболические многообразия с общим фундаментальным многогранником”, Матем. заметки, 49:6 (1991), 29–32 ; A. Yu. Vesnin, “Three-dimensional hyperbolic manifolds with general fundamental polyhedron”, Math. Notes, 49:6 (1991), 575–577
[10] А. Ю. Веснин, “Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лебелля”, Матем. заметки, 64:1 (1998), 17–23 ; A. Yu. Vesnin, “Volumes of hyperbolic Löbell 3-manifolds”,Math. Notes, 64:1 (1998), 15–19.
[11] А.Ю. Веснин, А.Д. Медных, Трехмерные гиперэллиптические многообразия и гамильтоновы графы, Сиб. матем. журн., 40:4 (1999), 745–763. [MR1721673]
[12] А. Ю. Веснин, А. Д. Медных, “Сферические группы Коксетера и гиперэллиптические 3-многообразия”, Матем. заметки, 66:2 (1999), 173–177 ; A. Yu. Vesnin, A. D. Mednykh, “Spherical Coxeter groups and hyperelliptic 3-manifolds”, Math. Notes, 66:2 (1999), 135–138
[13] А.Ю. Веснин, А.Д. Медных, Трехмерные гиперболические многообразия малого объема с тремя гиперэллиптическими инволюциями, Сиб. матем. журн., 40:5 (1999), 1035–1051. [MR1726849]
[14] А.Д. Медных, “Трехмерный мир, в котором мы не живем:, Наука из первых рук, 2006, том 8, №2, стр.83–93 . English translation: A.D. Mednykh,The Three-Dimensional Universe, Where We Are Not Living..., Science First Hand, 2006 , vol. 8, N3.
[15] Moto-o Takahashi, On the concrete construction of hyperbolic structure of 3-manifolds, Tsukuba J. Math., Volume 9, Number 1 (1985), 41–83.