Аннотация:
Рассмотрим случайный многочлен $P_n$ степени $n$, корни которого
являются независимыми случайными величинами, выбранными в соответствии с
некоторым распределением вероятностей $\mu_0$ на комплексной плоскости.
Естественно предположить, что при фиксированном $t \in [0,1)$ и при $n
\to \infty$ нули $[tn]$-й производной $P_n$ асимптотически распределены
согласно некоторой мере $\mu_t$ на комплексной плоскости. Предполагая,
что мера $\mu_0$ инвариантна относительно вращений или сконцентрирована
на действительной прямой, Штайнербергер [Proc. AMS, 2019] и О'Рурке и
Штайнербергер [arXiv: 1910.12161] вывели уравнения в частных производных
для предельной плотности корней. Мы предлагаем другой метод решения
задач такого типа. В изотропном случае мы получаем явную формулу для
асимптотической плотности радиальных частей корней $[tn]$-й производной
$P_n$. Аналогичный метод применяется к случаю, когда $\mu_0$
сосредоточена на действительной прямой. В этом случае Штайнербергер
[arXiv: 2009.03869] вывел представление $\mu_t$ в терминах свободной
свертки, для которого мы даем строгое доказательство. Например,
предельное распределение корней $[tn]$-й производной многочлена $x^n
(1-x)^n$ можно отождествить со свободным биномиальным распределением.
Доклад основан на совместной работе с Джереми Хоскинсом [arXiv: 2010.14320].
