Оценки и асимптотика собственных значений оператора типа Бирмана-Швингера для сингулярной меры в критическом случае

Оператор Бирмана-Швингера, играющий важную роль в спектральной теории и теории рассеяния, имеет вид $T_V = (1 -\Delta)^{-l/2}P(1 -\Delta)^{-l/2}$ в $\mathbb{R}^d$, где $P$ мера на $\mathbb{R}^d$. Оценки собственных значений являлись издавна предметoм исследования. В частности, при $2l > d$ было выяснено, что сингулярная составляющая меры $P$ вносит в спектральные оценки более слабый вклад, чем абсолютно непрерывная часть. Мы обнаружили, что в критическом случае $2l = d$ это не так. Для широкого класса сингулярных мер найдены оценки спектра, а для мер, сосредоточенных на липшицевых поверхностях произвольной коразмерности найдена асимптотика спектра, с порядком и коэффициентом, не зависящими ни от размерности поверхности, ни от размерности объемлющего пространства. При наличии времени, будет объяснена связь с некоммутативным интегрированием мер.