Обогащённое разложение Брюа в строгой теории Морса

Зафиксируем поле коэффициентов $F$ и рассмотрим множество всех прямоугольных $n\times m$ матриц над $F$. На этом множестве действует умножениями слева (соотв. справа) группа строговерхнетреугольных (т.е. с единицами на диагонали) матриц размера $n\times n$ (соотв. $m\times m$). Двусторонний фактор по этому двойному действию отождествляется с матрицами, у которых в каждом столбце и каждой строке есть максимум один ненулевой элемент. Это вариант классического разложения Брюа для $GL$, который мы называем обогащённым.
Мы применяем это линейно-алгебраическое утверждение в контексте строгих (т.е. не имеющих совпадающих критических значений) функций Морса. А именно, предъявляются инварианты таких функций и основным примером служит обогащённое разложение Баранникова. (Классическое разложение Баранникова часто ещё называется персистентными гомологиями и является популярным инструментом в симплектической геометрии, о которой, однако, речь не пойдёт.) Обогащение же заключается в наличии, после выбора должных ориентаций, канонически определённых чисел (элементов поля), написанных на каждой паре Баранникова (a.k.a. полоске в баркоде). Эти инварианты, сами по себе являющиеся естественными, применяются далее для получения некоторых сведений о пространстве всех функций Морса на данном многообразии.
Никаких пререквизитов не требуется, все определения будут даны. По совместной работе с Петей Пушкарём.

Подключение к Zoom'у: https://mi-ras-ru.zoom.us/j/98442461141
Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей