Формула веса минимального заполнения конечного метрического пространства и предельные теоремы для бесконечных метрических пространств

Задача о минимальном заполнении конечного метрического пространства впервые была поставлена Ивановым и Тужилиным в статье «Одномерная проблема Громова о минимальном заполнении». Она возникла на стыке двух классических задач: проблемы Штейнера о кратчайшей сети и проблемы Громова о минимальном заполнении гладкого многообразия.
Взвешенные графы, соединяющие данное метрическое пространство так, что для любых двух точек метрического пространства вес любого пути, соединяющего их в графе, не меньше расстояния между ними в метрическом пространстве, называются заполнениями. Задача состоит в поиске минимального заполнения, т.е. заполнения наименьшего веса.
В упомянутой статье было введено понятие планарного обхода — замкнутого пути по графу, проходящего через каждое ребро дважды. Для каждого планарного обхода естественным образом определяется периметр этого обхода. Ивановым и Тужилиным была высказана гипотеза о том, что вес минимального заполнения метрического пространства $\mathcal M$ может быть вычислен по формуле
$$ \operatorname{mf}(\mathcal M)=\min_G\max_\pi p(\mathcal M,\pi), $$
где $G$ — всевозможные бинарные деревья, соединяющие $\mathcal M$, $\pi$ — их планарные обходы, $p(\mathcal M,\pi)$ — соответствующие полупериметры.
Докладчик покажет, что данная гипотеза неверна, но становится верной при замене обходов на мультобходы — замкнутые пути, состоящие из последовательных граничных путей и проходящие через каждое ребро $2k$ раз, где $k$ — какое-то натуральное число, называемое кратностью мультобхода.
Полученная минимаксная формула имеет много интересных следствий — например о том, что любое минимальное заполнение метрического пространства общего положения представляет собой невырожденное бинарное дерево.
В конце доклада будет сформулирован ряд предельных теорем для веса минимального заполнения бесконечного метрического пространства и рассказано о новом обобщении заполнений — метрических оболочках.