Геометрия, комбинаторика и торическая топология семейств трёхмерных многогранников

В докладе планируется дать обзор результатов, полученных в течение последних 6 лет, в том числе в совместных работах с В.М.Бухштабером, Т.Е.Пановым, М.Масудой и С.Пак.
Мы рассматриваем семейства трёхмерных многогранников, определяемых k-поясами. k-пояс - это циклический набор из k граней, в котором смежными являются последовательные грани и только они, и никакие три грани не имеют общей вершины. Возникают следующие семейства многогранников:
1) почти флаговые: каждый 3-пояс окружает грань;
2) флаговые: отличны от симплекса и не имеют 3-поясов;
3) почти погореловские: флаговые и каждый 4-пояс окружает грань;
4) многогранники Погорелова: флаговые и не имеют 4-поясов;
5) сильно погореловские: многогранники Погорелова, у которых каждый 5-пояс окружает грань.
Есть ещё два замечательных семейства: фуллерены являются многогранниками Погорелова, а идеальные прямоугольные гиперболические многогранники при срезке всех вершин становятся почти погореловскими многогранниками.
На основе теоремы Андреева мы покажем геометрический смысл каждого семейства. При помощи набора операций мы построим каждое семейство из небольшого начального набора многогранников. В частности, дадим конструкции фуллеренов и идеальных прямоугольных многогранников.
Мы рассмотрим вопросы когомологической жёсткости семейств многообразий, возникающих из семейств многогранников в торической топологии. В частности, покажем, как многогранники Погорелова и идеальные прямоугольные многогранники дают когомологически жёсткие семейства трёхмерных и шестимерных многообразий.
В заключение мы покажем, как разложение простого многогранника вдоль 3-поясов на флаговые многогранники и симплексы отвечает разложению 3-мерных многообразий в связную сумму простых, а разложение флагового многогранника вдоль 4-поясов на почти погореловские многогранники и призмы отвечает JSJ-разложению 3-мерного многообразия. Последнее разложение позволяет построить каноническую геометризацию по Тёрстону ориентированных малых накрытий и вещественных момент-угол многообразий трёхмерных многогранников.