Методы аддитивной комбинаторики

Аддитивная комбинаторика — это наука, изучающая комбинаторные вопросы, связанные с групповой структурой.
Первый результат в этой области принадлежит А. Л. Коши (1813), который доказал, что в группе $Z/pZ$ мощность суммы любых множеств $A$ и $B$ либо равна $p$, либо не меньше чем $|A|+|B|-1$. Теорема Ван дер Вардена, названная А. Я. Хинчиным «жемчужиной теории чисел» имела, безусловно, наибольшее влияние на всю рассматриваемую область. Непосредственно с последней связаны теорема Е. Семереди (1969) об арифметических прогрессиях, а также создание Х. Фюрстенбергом так называемой «комбинаторной эргодической теории» (1971).
В последнее время в аддитивной комбинаторике наблюдается значительный всплеск активности, связанный, прежде всего, с появлением количественных результатов об арифметических прогрессиях Т. Гауэрса (2001), оценок для сумм произведений Бургена–Каца–Тао (2003), результата Грина–Тао (2004) о существовании в множестве простых чисел прогрессий произвольной длины, теоремы Крута–Сисаска (2010) о почти-периодических свойствах аддитивных сверток.
Мы дадим короткий обзор основных методов аддитивной комбинаторики: плотностного подхода, метода гомоморфизмов Фреймана, метода равномерных норм и новейшего подхода Крута–Сисаска, связанного с почти-периодичностью аддитивных сверток. Все эти методы будут продемонстрированы на ряде простейших модельных задач. Никаких специальных знаний у слушателей не предполагается.