Методы построения полных инволютивных наборов полиномов на полупрямых суммах алгебр Ли

Пусть $\mathfrak g$ — конечномерная алгебра Ли над полем $\mathbb R$. На двойственном пространстве $\mathfrak g^*$ к алгебре $\mathfrak g$ будем рассматривать гладкие функции $f\colon\mathfrak g^*\to\mathbb R$. На множестве $C^\infty(\mathfrak g^*)$ таких функций существует скобка Пуассона–Ли, определяемая в каждой точке $x\in\mathfrak g^*$ равенством $\{f,h\}(x)=c^k_{ij}x_k\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial g}{\partial x_j}$, где $c^k_{ij}$ — структурные константы алгебры $\mathfrak g$.
Определение 1. Говорят, что две функции находятся в инволюции (или коммутируют), если их скобка Пуассона–Ли равна нулю.
Определение 2. Инволютивный относительно скобки Пуассона–Ли набор функционально независимых полиномов $f_1,\dots,f_m$ называется полным, если $m=\frac 12(\dim\mathfrak g+\operatorname{ind}\mathfrak g)$, где $\operatorname{ind}\mathfrak g$ — коразмерность орбиты коприсоединенного действия для регулярного элемента.
Теорема (гипотеза Мищенко–Фоменко). На двойственном пространстве к любой конечномерной алгебре Ли над полем характеристики нуль всегда существует полный инволютивный набор полиномов.
Для случая редуктивных алгебр Ли эта гипотеза была доказана самими А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко. Полный инволютивный набор полиномов для такой алгебры строится с помощью метода сдвига аргумента.
Полное доказательство гипотезы Мищенко–Фоменко для произвольной конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0 было проведено в 2003 году С. Т. Садэтовым. Однако в течение более чем 30 лет вопросом построения полных инволютивных наборов полиномов для различных алгебр Ли занимались многие исследователи. Поэтому представляет интерес вопрос сравнения наборов полиномов, построенных более ранними методами, с наборами, которые дает метод Садэтова.
В докладе будет приведено сравнение трех методов построения полных инволютивных наборов полиномов для такого класса алгебр Ли как полупрямые суммы компактной алгебры Ли и линейного пространства по произвольному представлению. Также будет показано, как эти методы можно применить к конкретным алгебрам Ли для получения явных формул для полиномов, входящих в полный инволютивный набор.