Аннотация:
Рассматривается модель линейной регрессии
$$
Y_i=\sum_{j=1}^p\theta_j X_{ij}+\xi_i,\qquad i=1,\dots,n,
$$
где $\xi_i\sim\mathcal N(0,1)$ независимы, $X=\{X_{ij},\ i=1,\dots,n,\ j=1,\dots, p\}$ —
случайная матрица, $\theta=\{\theta_j,\ j=1,\dots,p\}$ — вектор неизвестных параметров, который
предполагается «редким». Рассматривается задача обнаружения вектора $\theta$, то есть проверки гипотезы $H_0$: $\theta=0$ против альтернативы $H_0$: $\|\theta\|\ge r_{n,p}$, где $r_{n,p}$ — заданная положительная последовательность.
Для случая матрицы $X$ с независимыми стандартными гауссовскими элементами построены асимптотически точные границы обнаружения при $n\to\infty$ и $p\to\infty$, т.е. условия на $r_{n,p}$ в
зависимости от $n$, $p$ и степени «редкости» вектора $\theta$, при которых минимаксная вероятность ошибки стремится к 0 или к 1.
Доклад основан на совместной работе с А. Б. Цыбаковым и N. Verzelen.
|
