Произведения Уайтхеда и модели Адамса-Хилтона в торической топологии

В 1950-х было доказано, что скобка Уайтхеда удовлетворяет тождеству Якоби, что тем самым превращает $\pi_*(\Omega X)\otimes {\mathbb Q}$ в градуированную алгебру Ли. Впоследствии были определены высшие (многоместные) произведения Уайтхеда и получены некоторые обобщения тождества Якоби.
В торической топологии и гомотопической теории полиэдральных произведений важную роль играет момент-угол комплекс $\mathcal Z_{\mathcal K}$ — клеточный комплекс с действием тора $T^m$, составленный из произведений дисков и окружностей, параметризованных симплексами в симплициальном комплексе $\mathcal K$ на $m$ вершинах. Таким образом, $\mathcal Z_{\mathcal K}$ представляет собой полиэдральное произведение $\mathcal Z_{\mathcal K}=(D^2,S^1)^{\mathcal K}$; наряду с этим рассматривается пространство Дэвиса–Янушкевича $({\mathbb C} P^\infty)^\mathcal K=({\mathbb C} P^\infty,pt)^{\mathcal K}$. Имеется общая задача описания рациональных гомотопических алгебр Ли $\pi_*(\Omega \mathcal Z_{\mathcal K})\otimes {\mathbb Q}$ и $\pi_*(\Omega({\mathbb C} P^\infty)^\mathcal K)\otimes{\mathbb Q}$ и их универсальных обертывающих алгебр $H_*(\Omega \mathcal Z_{\mathcal K};{\mathbb Q})$ и $H_*(\Omega({\mathbb C} P^\infty)^\mathcal K;{\mathbb Q})$ относительно скобки Уайтхеда.
Для большого класса симплициальных комплексов алгебра $H_*(\Omega \mathcal Z_{\mathcal K};{\mathbb Q})$ порождена классами, представляющим образы высших произведений Уайтхеда стандартных сфероидов при отображении Гуревича. В связи с этим возникает задача описания соотношений между высшими произведениями Уайтхеда в алгебре Ли $\pi_*(\Omega \mathcal Z_{\mathcal K})\otimes {\mathbb Q}$.
В докладе будет описан подход к этой задаче, основанный на описании моделей Адамса–Хилтона полиэдральных произведений ${\left(\mathbb{C} P^{\infty}\right)^{\mathcal{K}}}$ и ${(\underline{S})^{\mathcal K}}$. Эти модели представляют собой конкретные дифференциальные градуированные ассоциативные алгебры с гомологиями $H_*(\Omega {\left(\mathbb{C} P^{\infty}\right)^{\mathcal{K}}};\mathbb Z)$ и $H_*(\Omega {(\underline{S})^{\mathcal K}};\mathbb Z)$. Оказывается, что для этих пространств модели Адамса–Хилтона можно выбрать так, что они будут совпадать с кобар–конструкциями от соответствующих коалгебр гомологий. На основе этого метода можно описать цепи в кобар-конструкции пространства Дэвиса–Янушкевича для некоторых итерированных высших произведений Уайтхеда.
Для минимального симплициального комплекса, для которого возникает нетривиальное высшее итерированное произведение Уайтхеда, будет приведено полное описание рациональной гомотопической алгебры Ли и алгебры Понтрягина пространства $({\mathbb C} P^\infty)^\mathcal K$.