Предельная форма и алгоритмы вставки для диаграмм Юнга классических групп Ли

Группа перестановок действует на тензорной степени фундаментального представления SU(N). Если разложить тензорную степень на неприводимые, то можно ввести вероятностную меру на диаграммах Юнга, которые параметризуют неприводимые представления, как отношение произведения размерности неприводимого представления и его кратности к размерности тензорной степени. Благодаря двойственности Шура-Вейля, кратность равна размерности представления группы перестановок, задающегося той же диаграммой Юнга. С.Керов рассмотрел эту меру в пределе бесконечной тензорной степени и бесконечного ранга и показал, что предельная форма совпадает с предельной формой Вершика-Керова. Позднее Ф.Биан уточнил этот результат на случай роста степени как квадрата ранга и получил предельные формы, зависящие от параметра.
Для обобщения на другие серии групп Ли мы пользуемся кососимметрической двойственностью Хау, связанной с действием пары групп Ли на внешней алгебре $\bigwedge(\mathbb{C}^{n}\otimes\mathbb{C}^{k})$. Тогда внешняя алгебра раскладывается без кратностей в прямую сумму тензорных произведений представлений двойственных групп $(GL_{n},GL_{k})$, $(SO_{n},Pin_{2k})$ и $(Sp_{n},Sp_{2k})$, где представление одной группы параметризуется диаграммой Юнга, а представление второй – транспонированной дополнительной диаграммой. С точки зрения одной из групп, такое разложение является разложением тензорной степени представления, в котором кратности равны размерностям представлений второй группы. Мы рассматриваем вероятностную меру на диаграммах, заданную этими разложениями. Для этих тензорных степеней были предложены алгоритмы, обобщающие вставку Шенстеда, которые позволяют эффективно порождать случайные диаграммы по нашей мере.
Чтобы найти предельную форму в пределе $n,k\to\infty$, нам надо записать кратность представления через длины строк его диаграммы Юнга. Мы покажем, что эта кратность равна числу путей в замощении трапеции ромбиками, а затем воспользуемся леммой Линдстрема-Гесселя-Вьено и рекурсией детерминантов, чтобы получить формулы для кратностей. В результате вероятностные меры на диаграммах записываются в форме детерминантных точечных процессов и предельные формы находятся из решения вариационной задачи. Оказывается, что предельные формы для серий SO и Sp являются "половинками" предельной формы для GL. Предельная форма для GL отличается от предельной формы Вершика-Керова, но совпадает с линией уровня предельной формы таблиц прямоугольных диаграмм Юнга, полученной Б.Питтелем и Д.Ромиком. Это совпадение объясняется работой П.Сняды и Г.Пановой.