Обобщенная теорема Бертрана на поверхностях вращения

Рассмотрим точку, движущуюся по поверхности вращения с метрикой $ds^2=dr^2+f^2(r)d\varphi^2$ в центральном поле, заданном центральным потенциалом. Предположим, что все ограниченные траектории движения этой точки замкнуты, причем существуют такие траектории. Что тогда можно сказать о виде центрального потенциала $V(r)$?
Описанная задача — обобщение классической механической задачи Бертрана, впервые поставленной, судя по всему, в конце XIX века Ж. Бертраном для частного случая движения по евклидовой плоскости. Задача Бертрана была решена для случая плоскости (Ж. Бертран, Г. Дарбу); позже аналогичная задача была успешно решена для случаев двумерной сферы и плоскости Лобачевского (Г. Либман и другие).
В начале XXI века М. Сантопрете сделал большой шаг в обобщении задачи Бетрана на случай произвольной поверхности вращения.
В докладе будет рассказано о некоторых новых результатах, полученных в этой области. В частности, будут сформулированы точные условия, в которых были доказаны теоремы Бертрана и Сантопрете.