Аннотация:
Топологические алгебры, изучаемые в классическом функциональном анализе, отличаются от алгебр в чистой алгебре тем, что их невозможно одним общим определением представить как конструкцию внутри какой-то выбранной категории топологических векторных пространств. Это "идеологическое отличие" можно устранить, условившись, что все построения функционального анализа организуются внутри категории Ste так называемых стереотипных пространств. Эта категория примечательна тем, что является вторым после категории Ban банаховых пространств примером моноидальной замкнутой категории в функциональном анализе, однако, в отличие от Ban, категория Ste необычайно широка, настолько, что включает в себя фактически все реально используемые топологические векторные пространства функционального анализа.
Выбор категории Ste в качестве рабочей в анализе приводит к довольно неожиданному взгляду на весь функциональный анализ, а также на смежные области математики: помимо того, что он упрощает формулировки, он выявляет скрытые до того связи между функциональным анализом и геометрией. В частности, обнаруживается, что каждому типу оболочки в категории Ste соответствует некая "проекция функционального анализа в геометрию", причем частными случаями возникающих таким образом теорий являются классические "большие геометрические дисциплины": топология, дифференциальная геометрия и комплексная геометрия. Одним из приложений этих рассмотрений являются возникающие внутри каждой такой геометрии новые теории, в которых классическая двойственность Понтрягина обобщается на естественные в этой геометрии классы некоммутативных групп.
|
