Комбинаторные варианты систолических неравенств

Систолические неравенства (придуманные Громовым) связывают длину кратчайшей нестягиваемой петли в римановом многообразии с его объёмом, при некотором условии «существенности» этого многообразия. До Громова было известно соответствующее точное неравенство (теорема Пу) для проективной плоскости, и до сих пор широко открытый вопрос о проективном пространстве большей размерности. После Громова систолические неравенства развивались в разных направлениях в работах Бабенко, Гута, Накамуры, Папасоглу, Набутовского, Балашеффа, Карама и других математиков.
Наша работа также была мотивирована трудной задачей о минимальных триангуляциях данного многообразия, в смысле количества вершин триангуляции. И хотя по этой трудной задаче у нас мало что получилось, мы поняли, как более комбинаторно (и возможно более доступно для широкого круга математиков) подходить к систолическим неравенствам как к оценкам снизу количества вершин в триангуляции заданного многообразия. Более того, в наших результатах мы рассматриваем произвольные полиэдры вместо многообразий и формулируем их «длину систоли» и свойство «существенности» в чисто комбинаторных терминах, делая рассуждения из классических доказательств систолических неравенств римановой геометрии почти элементарными.
Более конкретно, рёберная систоль полиэдра $\mathrm{sys}K$ — это минимальное количество рёбер в нестягиваемой в $K$ петле, идущей по рёбрам полиэдра $K$. $n$-существенность полиэдра $K$ – это невозможность покрасить множество вершин полиэдра $V(K)$ в $n$ или менее цветов так, чтобы не осталось ни одной нестягиваемой петли по рёбрам $K$, проходящей через вершины только одного цвета. При наличии свойства $n$-существенности $K$, количество вершин $V(K)$ оценивается снизу функцией от $\mathrm{sys}K$ и $n$.
При более сильных предположениях, когда $n$-существенность гарантируется ненулевым произведением $n$ классов приведённых когомологий нашего полиэдра $K$, оценку числа вершин можно несколько улучшить. Тем не менее, как и в случае римановых систолических неравенств, правильная по порядку величины зависимость константы в неравенстве от числа $n$ пока не выяснена.
Наши методы (являющиеся эволюционным развитием известных методов) также работают и в классической постановке римановой геометрии. Мы обобщили и количественно усилили зависящую от $n$ константу в «принципе Минковского для когомологических произведений» Балашеффа и Карама. Как следствие, мы также обобщили систолическое неравенство Гута и Накамуры с многообразий на кусочно-римановы полиэдры.
Если позволит время, мы обсудим подходы к оценке снизу числа $n$-мерных граней топологически $n$-существенного полиэдра.