Простое доказательство теоремы Брунна–Минковского элементарными средствами

Приводятся тезисы доклада на семинаре им. проф. В.В. Трофимова "Актуальные проблемы геометрии и механики"  (рук. Георгиевский Д.В., Шамолин М.В.), сделанного автором 19.11.2021. Было представлено новое доказательство теоремы Брунна–Минковского об объёме суммы выпуклых тел $P_0$, $P_1$ в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$, $n\geqslant2$, одинакового $n$-мерного объёма: $V_n((1-t)P_0+tP_1)\geqslant V_n(P_0)=V_n(P_1)$, $0<t<1$, причём равенство имеет место, только если $P_1$ получается из $P_0$ параллельным переносом, в остальных случаях теорема утверждает строгое неравенство. Опровергается сформировавшееся мнение о том, что исключение равенства особая наиболее трудная часть теоремы, приводятся причины сложившейся ситуации.
Теорема 1.
Пусть в двух параллельных гиперплоскостях $L_0$, $L_1$ евклидова пространства $\mathbb{R}^{n+1}$, $n\geqslant1$, содержатся выпуклые тела $P_0$, $P_1$ одинакового $n$-мерного объёма $v>0$, $P_1$ не получается из $P_0$ параллельным переносом, и пусть $P$ – сечение выпуклой оболочки $[P_0\cup P_1]$ их объединения гиперплоскостью $L$, параллельной $L_0$, $L_1$ и находящейся строго между ними. Тогда $n$-мерный объём $v'$ тела $P=L\cap[P_0\cup P_1]$ будет строго больше $v$.
Теорема 2.
Пусть $P_0$, $P_1$ два выпуклых тела в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ одинакового объёма $v>0$, не получающиеся одно из другого параллельным переносом, и пусть $0<t<1$. Тогда объём $v''$ тела $P=(1-t)P_0+tP_1$ строго больше $v$.
Первую теорему сформулировал Брунн в 1887 году. Вторая теорема известна как теорема Брунна–Минковского. Утверждения этих теорем эквивалентны, поскольку $v''=v'$ при некотором $t$. Это две формулировки одной теоремы. Основные её приложения связаны со второй формулировкой. Первоначально, как заметил Минковский, Брунном было доказано только неравенство $v'\geqslant v$ [Brunn]. Будем называть это ослабленным вариантом теоремы, он справедлив и в случае, когда $P_1$ получается из $P_0$ параллельным переносом, $P_1\|P_0$. Отрицание последнего записываем как $P_1\nparallel P_0$. Позже Брунн устранил пробел в доказательстве теоремы. Доказательство Минковского неравенства $v''>v$ появилось через год после его смерти [Minkowski]. Подробней см. в [Delone1]. Новые далеко не простые доказательства многих авторов неравенства $v''\neq v$ появляются вплоть до настоящего времени (см. [BuragoZalgaller]–[Timergaliev]). Все они исходят из второй формулировки, доказывают в условиях особенности: $L_0=L=L_1$, превносящей существенные сложности. По этой, главным образом, причине закрепилось мнение, что исключение равенства $v''=v$ наиболее трудная часть в теореме. При $L_0\neq L\neq L_1$ (в условиях общего положения) больше простора для геометрической интуиции, предоставляющей элементарное основанное на рассечениях Брунна доказательство неравенства $v'>v$, доступное при $n=2$ школьникам. До работ [MFM-VINITI], [MFM] таких доказательств не было известно.
Рассечение Брунна. Пусть $M$ – гиперплоскость в $\mathbb{R}^{n+1}$, разбивающая тела $P_0$ и $P_1$ соответственно на части $P'_0,\,P''_0$ и $P'_1,\,P''_1$, $P_0=P'_0\cup P''_0$, $P_1=P'_1\cup P''_1$, причём $V_n(P'_0)=V_n(P'_1)$ и $P'_0,\,P'_1$ находятся по одну сторону от гиперплоскости $M$. Предусматриваемые теоремой построения можно производить независимо в полупространствах $M^-$, $M^+$, $\mathbb{R}^{n+1}=M^-\cup M^+$, $M^-\cap M^+=M$. Если для одной из пар тел $P'_0,\,P'_1$ или $P''_0,\,P''_1$ верно утверждение теоремы, а для другой пары верно утверждение её ослабленного варианта, то утверждение теоремы верно для тел $P_0,\,P_1$. Действительно, тогда $ V_n(L\cap[P_0\cup P_1])\geqslant V_n(L\cap[P'_0\cup P'_1])+V_n(L\cap[P''_0\cup P''_1]) \geqslant V_n(P'_0)+V_n(L\cap[P''_0\cup P''_1])\geqslant V_n(P'_0)+V_n(P''_0)=V_n(P_0). $ Если $P_1\nparallel P_0$, то либо $P'_1\nparallel P'_0$, либо $P''_1\nparallel P''_0$, поэтому хотя бы одно из двух последних неравенств является строгим. Приведённое рассечение в последующем можно независимо применять к паре $P'_0,\,P'_1$ или к $P''_0,\,P''_1$, и т.д. до тех пор, пока для очередной далее не рассекаемой пары не убедимся в справедливости утверждения теоремы. Для всех остальных возникающих по ходу дела пар выпуклых тел достаточно справедливости утверждения ослабленного варианта теоремы. До сих пор рассечения Брунна применялись мало эффективно, тело $P_0$ разбивалось только параллельными гиперплоскостями в $L_0$. Этим достигалось элементарное доказательство только ослабленной теоремы путём сведения к случаю прямоугольных параллелепипедов $P_0$, $P_1$ с параллельными соответствующими $(n-1)$-гранями.
1. Производя же рассечения Брунна по $(n-1)$-граням вписанного в $P_0$ выпуклого многогранника, приближающего $P_0$ сколь угодно близко, доказательство теоремы сводится к ситуации, когда $P_0$ и $P_1$ выпуклые многогранники. Дальнейшими последовательными рассечениями Брунна многогранник $P_0$ можно разбить на $n$-мерные симплексы. Действительно, используя индукцию по $n$ и выделяя в многограннике $P_0$ какую-либо вершину $A$, можно считать $P_0$ "пирамидой"  с вершиной $A$ и неровным "основанием" , состоящим из нескольких его $(n-1)$-граней (не содержащих $A$). Гиперплоскость $M\subset L_0$, содержащая вершину $A$ и одну из $(n-2)$-граней, общую для двух $(n-1)$-граней "основания" , разбивает $P_0$ на 2 "пирамиды" , в каждой из которых число граней "основания"  по крайней мере на 1 меньше, чем в "основании"  у $P_0$. Дальнейшие независимые разбиения частей $P_0$ гиперплоскостями $M\ni A$ оставят во всех "основаниях"  по одной $(n-1)$-грани, которые по предположению индукции разбиваются на $(n-1)$-симплексы, а значит и $P_0$ разбивается на $n$-симплексы. (Семействами же прямоугольных параллелепипедов, в отличие от симплексов, можно только приближать выпуклые многогранники $P_0$ сколь угодно близко.)
2. В случае, когда $P_0=\Delta_0$ – $n$-мерный симплекс, рассматривается минимальный симплекс $\Delta_1\varsupsetneq P_1$, гомотетичный $\Delta_0$ с положительным коэффициентом гомотетии. Пусть имеются вершина $B$ симплекса $\Delta_1$ и $(n-1)$-грань многогранника $P_1$ такие, что параллельная этой грани опорная для $\Delta_1$ гиперплоскость (с нормалью как у этой грани) содержит только одну вершину $B$ симплекса $\Delta_1$. Многогранник $P_1$ увеличим до выпуклого многогранника $\widetilde{P}_1\subseteq\Delta_1$ следующим образом. Если опорная гиперплоскость $\Delta_1$ не содержит $B$ или вместе с $B$ содержит хотя бы ещё одну вершину $\Delta_1$, то параллельные ей опорные гиперплоскости $P_1$ и $\widetilde{P}_1$ совпадают. Гиперплоскостью в $\mathbb{R}^{n+1}$, опорной для $\Delta_0$ и содержащей ребро $[A_1,A_2]$ симплекса $\Delta_0$, отсечём от $\widetilde{P}_1$ такой многогранник, что оставшийся многогранник $\widehat{P}_1$ (в том же полупространстве, что и $\Delta_0$) имеет объём $v$. В результате объём $\widetilde{v}=V_n(\widetilde{P})=V_n(L\cap[\widetilde{P}_1\cup\Delta_0])$ увеличится по сравнению с $v'=V_n(P)=V_n(L\cap[P_1\cup\Delta_0])$ на одну величину, а объём $\widehat{v}=V_n(\widehat{P})=V_n(L\cap[\widehat{P}_1\cup\Delta_0])$ уменьшится по сравнению с $\widetilde{v}$ на большую величину. Это следует из того, что $[\widetilde{P}_1\cup\Delta_0]\diagdown[P_1\cup\Delta_0]$ является пирамидой c основанием $\widetilde{P}_1\diagdown P_1$ и с вершиной в виде вершины симплекса $\Delta_0$, отвечающей при гомотетии $B$, а $[\widetilde{P}_1\cup\Delta_0]\diagdown[\widehat{P}_1\cup\Delta_0]$ содержит две различных аналогичных пирамиды с общим основанием $\widetilde{P}_1\diagdown\widehat{P}_1$ того же объёма $V_n(\widetilde{P}_1)-V_n(P_1)=V_n(\widetilde{P}_1)-V_n(\widehat{P}_1)$ и с вершинами $A_1$, $A_2$. C учётом ослабленной теоремы имеем требуемое $v'>\widehat{v}\geqslant v$.
3. В особых ситуациях таких пар $B$ и соответствующей грани многогранника $P_1$ может не оказаться. Тогда для симплексов $\Delta_0=[A_1,...\,,A_{n+1}]$, $\Delta_1=[B_1,...\,,B_{n+1}]$ с соответствующими при гомотетии вершинами $A_i,\,B_i$, $i=1,...\,,n+1$, в многогранники $P_1$ находим грань, для которой параллельная ей опорная гиперплоскость для $\Delta_1$ содержит минимально возможное число вершин. Пусть это $B_1,...\,,B_j$, $2\leqslant j\leqslant n-1$. Выбирая на отрезке $[B_1,B_{n+1}]$ точку $B'_1$ как можно ближе к $B_1$ и проводя рассечение Брунна по гиперплоскости в $\mathbb{R}^{n+1}$, проходящей через $[A'_1,A_2,...\,,A_n]$ и через гиперплоскость в $L_1$, параллельную $[B'_1,B_2,...\,,B_n]$, доказательство теоремы сведётся к симплексу $\Delta'_0=[A'_1,A_2,...\,,A_n,A_{n+1}]$ и многограннику $P'_1$ того же объёма, для которых минимальное значение $j$ уменьшается на единицу. Несколько таких рассечений приведёт к разобранной в п. 2 ситуации общего положения, с $j=1$.
4. Рассуждения пп. 1, 2, 3 предоставляют доказательство и ослабленной теоремы, следующей из справедливости неравенств $v'\geqslant v-\varepsilon$ для сколь угодно малых $\varepsilon>0$. Для этого в п. 1 приближения многогранниками должны обеспечивать объёмы вписанных многогранников не меньшие $v-\varepsilon/2$. Пункты 2 и 3 должны рассматриваться не для всех $N=N(\varepsilon/2)$ симплексов, которые получаются в результате действий п. 1, а только для $N'\leqslant N$ тех, которые не получаются параллельным сдвигом из отвечающих им многогранников в $L_1$. В п. 3 используется конечное число $R=R(N')$ рассечений Брунна. Каждый раз в п. 3 точка $B'_1$ должна выбираться на столько близкой к $B_1$, чтобы объём симплекса $\Delta''_0=[A'_1,A_2,...\,,A_n,A_1]$ не превосходил $\varepsilon/(2R)$. После суммирований $N-N'$ равенств и $N'$ неравенств, получаемых в п. 2, получим требуемое $v'\geqslant v-\varepsilon.$
Таким образом, для доказательства неравенства $v'\geqslant v$ и для доказательства затем неравенства $v'\neq v$ при $P_0\nparallel P_1$ требуются одни и те же рассуждения, основанные на рассечениях Брунна.
5. Восстановление детального доказательства теоремы по пп. 1, 2, 3 не требует дополнительных идей и вполне под силу читателям, знакомым с первыми параграфами книги [Belousov].
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Brunn} Brunn H. Uber Ovale und Eiflachen. Inag. Diss., Munchen, 1887.
\bibitem{Minkowski} Minkowski H. Geometrie der Zahlen. Leipzig-Berlin, 1896, 1910.
\bibitem{Delone1} Делоне Б. Н. Доказательство неравенства Брунна – Минковского// Успехи математических наук.— 1936.— № 2. — C. 39–46.
\bibitem{BuragoZalgaller} Бураго Д. М., Залгаллер В. А. Геометрические неравенства. — Л.: "Наука" , 1980.
\bibitem{Federer} Федерер Г. Геометрическая теория меры. — М.: "Наука" , 1987.
\bibitem{BuldiginCharasishvili} Булдыгин В. В., Харазишвили А. Б. Неравенство Брунна – Минковского и его приложения. — Киев: Наукова Думка, 1985.
\bibitem{Gardner} Gardner R. J. The Brunn–Minkowski inequality// Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, V. 39, № 3, p. 355–405, 2002.
\bibitem{Chadviger} Хадвигер Г. Лекции об объёме, площади поверхности и изометрии. — М.: "Наука" , 1966.
\bibitem{Leichtveis} Лейхтвейс К. Выпуклые множества. — М.: "Наука" , 1985.
\bibitem{Bljshke} Бляшке В. Круг и шар. — М.: "Наука" , 1967.
\bibitem{Schneider} Schneider R. Convex Bodies: The Brunn–Minkowski theory. Second expanded tdition. Encyclopedia of Mathematics and Its applications, 151. Cambridge University Press, Cambridge, 2013, xvii+736 pp.
\bibitem{Barthe} Barthe F. The Brunn–Minkowski theorem and related geometric and functional inequalities// Proc. International Congress Math.,Madrid, Spain, 2006, pp. 1529–1546.
\bibitem{Ball} Ball K. An Elementary Introduction to Monotone Transportation// LNM 1850, pp. 41–52, 2004.
\bibitem{Aleksandrov} Александров А. Д. Выпуклые многогранники. — М.–Л.: ГИТТЛ, 1950.
\bibitem{GardnerHugWeil} Gardner R. J., Hug D., Weil W. The Orlicz–Brunn–Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities// J. Diff. Geom., no. 3, 2014, pp. 427–476.
\bibitem{Berndtsson} Berndtsson B. A Rrunn–Minkowski type inequalities for Fano manifolds and some uniqueness theorems in Kahler geometry// Inventiones math., vol. 200, no. 1, 2015, pp. 149–200.
\bibitem{Timergaliev} Timergaliev B. S. Generalization of the Brunn–Vinkowski inequalitybin the Form of Hadwiger for Power Moments// Lobachevskii J. Math., vol. 37, no. 6, 2016, pp. 794–806.
\bibitem{MFM-VINITI} Малышев Ф. М. Доказательство теоремы Брунна – Минковского элементарными методами// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и её прил. Темат. обз., 182, ВИНИТИ РАН, 2020, 70–94.
\bibitem{MFM} Малышев Ф. М. Завершение доказательства теоремы Брунна элементарными средствами// Чебышевский сборник, 22:2 (2021), 160–182.
\bibitem{Belousov} Белоусов Е. Г. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. — М.: МГУ, 1977.
\end{thebibliography}