О некоторых новых результатах в алгебраической теории коллективного выбора

В докладе представлены новые результаты в теории коллективного выбора, которые получены с помощью методов универсальной алгебры и теории замкнутых классов дискретных функций. Эти результаты развивают идеи работ [Shelah2005,Polyakov2013,Polyakov2014,Polyakov2018], однако, в отличие от результатов этих работ, относятся к классу т. н. теорем возможности. В частности, авторами получено явное описание локальных правил агрегирования, которые имеют нетривиальные симметричные классы инвариантных множеств предпочтений, см. [Polyakov2020b,Polyakov2019a]. По существу, этот результат отвечает на вопрос: для каких локальных правил агрегирования нетривиальное инвариантное множество предпочтений существует и может быть описано теоретико-множественной формулой без констант из множества альтернатив. В работах [Polyakov2019, Polyakov2020a] результаты распространены на динамические процедуры агрегирования, состоящие в пошаговом принятии решений на случайной последовательности подмножеств множества альтернатив. Далее мы рассматриваем класс нелокальных правил агрегирования $f_{\mathcal A, \mathcal F, \mathcal J}$, имитирующих пошаговое принятие решений с правилом $\mathcal F$ при фиксированных функции адаптации агентов $\mathcal A$ и упорядочении альтернатив $\mathcal J$, причем упорядочение $\mathcal J$ считается случайным фактором. Оказывается, если правило $\mathcal F$ порождается правилом большинства, то для некоторой фунции адаптации $\mathcal A$ и любого упорядочения $\mathcal J$ каждое такое правило сохраняет множество рациональных предпочтений и позволяет определить победителя по Кондорсе, если он существует. В конце доклада мы сформулируем ряд открытых вопросов.
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Shelah2005} Shelah S. On the Arrow property. Adv. in Ap. Mat., vol. 34 (2005), pp. 217–251.
\bibitem{Polyakov2013} Н. Л. Поляков, М. В. Шамолин. О замкнутых симметричных классах функций, сохраняющих любой одноместный предикат., Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер., 2013, 6(107), 61–73.
\bibitem{Polyakov2014} Polyakov N. Shamolin M. On a generalization of Arrow's impossibility theorem. Doklady Mathematics, vol. 89, no. 3 (2014), pp. 290-292.
\bibitem{Polyakov2018} Polyakov N. Functional Galois connections and a classification of symmetric conservative clones with a finite carrier // Working papers by Cornell University. Series math arxiv.org (2018), pp. 1-22.
\bibitem{Polyakov2020b} N. L. Poliakov, M. V. Shamolin, Reduction theorems in the social choice theory, Geometry and Mechanics, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz., 174, VINITI, Moscow, 2020, 46–51
\bibitem{Polyakov2019a} Polyakov N. Dichotomy theorem in computational social choice theory. // Proceedings of Russian Workshop on Complexity and Model Theory, June 9 – 11, Moscow, 2019.
\bibitem{Polyakov2019} Поляков Н. Л., Шамолин М. В. О динамических системах агрегирования. // Труды семинара им. И.Г. Петровского (2019), Т. 32, стр. 257-282.
\bibitem{Polyakov2020a} N. L. Poliakov, M. V. Shamolin, On Dynamic Aggregation Systems, J Math Sci (2020), 244, 278-293.