|
СЕМИНАРЫ |
Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика» (семинар С. П. Новикова)
|
|||
|
Конечно-определенные ниль-полугруппы и апериодические мозаики А. Я. Канель-Беловab a Bar-Ilan University, Department of Mathematics b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова |
|||
Аннотация: Хорошо известна классическая проблема Бернсайда, решенная П.С.Новиковым и С.И.Адяном: Существует ли бесконечная конечно порожденная группа с тождеством Все эти примеры бесконечно определены. В этой связи возникает вопрос о существовании конечно определенной бесконечной периодической группы. Аналогичный вопрос можно поставить для кольца (Существует ли конечно определенное ниль-кольцо) и для полугруппы (существует ли конечно определенная ниль-полугруппа). Существование бесконечной полугруппы с тождеством Конечно определенную тематику пропогандировали многие исследователи, в том числе С.П.Новиков. В Свердловской Тетради (выпуск 3, 1989 год, Свердловск, задача 3.61., см. также обзор Kharlampovich, O. G.; Sapir, M. V. Algorithmic problems in varieties. Internat. J. Algebra Comput. 5 (1995), no. 4-5, 379–602, стр. 435, проблема 3.8.) была поставлена проблема a) (Известный вопрос) Существует ли конечно определенная бесконечная периодическая полугруппа? б) Существует ли конечно определенная бесконечная ниль-полугруппа? (Л.Н.Шеврин, М.В.Сапир) Доклад посвящен конструкции бесконечной конечно определенной ниль-полугруппы (т.е. решению проблемы Шеврина-Сапира) c тождеством Для этого комплекса устанавливается аналог знаменитой теоремы Шахара Мозеса - Гудмана-Штрасса. Классическая формулировка данной теоремы (Chaim Goodman-Strauss, “Matching Rules and Substitution Tilings”, Annals of Mathematics, 147 (1998), 181-223, Mozes, Shahar, “ Aperiodic tilings”. Invent. Math. 128, No. 3, 603–611 (1997)) означает что для любой плиточной подстановочной системы можно установить аранжировки законы примыкания такие, что следование этим законам вынуждает набор плиток собраться в эту систему. Тем самым имеется перевод с языка глобальной геометрической структуры на локальный язык примыкания. Следующий шаг относится к переводу между языками локальных правил примыкания, и путей на мозаике (отвечающих элементам полугруппы). Такую возможность перевода осуществляет свойство слабой детерминированности, которое необходимо обеспечить. Вводятся кодировки для семейства комплексов, определяется конечная система цветов для вершин и ребер комплексов. Каждый цвет состоит из нескольких компонентов-оттенков, зависящих от геометрической структуры в окрестности данной вершины или ребра. После введения раскраски сначала рассматриваются вспомогательные функции, дающие цвет вершин в зависимости от цветов определенных точек в окрестности данной вершины. После этого с помощью введенных функций проводится доказательство детерминированности введенной раскраски: по цветам вершин и ребер пути длины 2, проходящему по периметру минимального 4-цикла комплекса восстанавливается цвета вершин и ребер сопряженного к нему пути по противоположной части того же 4-цикла. Доклад основан на совместной работе с И.А.Ивановым-Погодаевым |