От теории протекания к фуксовым уравнениям и задаче Римана-Гильберта

Рассмотрим задачу протекания в критическом режиме на шестиугольной решётке: каждый из (мелких) шестиугольников с вероятностью 1/2 объявляется "открытым" или "закрытым". Если на границе односвязной области последовательно отмечены 4 точки A,B,C,D, то либо есть открытый путь, соединяющий дуги AB и CD, либо есть "не пускающий" его закрытый путь от BC до AD (и тут можно вспомнить про знаменитую игру "Hex"). Формула Карди, строго доказанная С.К. Смирновым, отвечает на вопрос "с какой вероятностью (в пределе) есть путь от AB до CD?". Но что, если дуг на границе (и, соответственно, возможных конфигураций) больше? Для задачи "multiple SLE(\kappa)" формулы для таких вероятностей были получены в работах 2015-16 Flores et al. — однако границы между кластерами открытых и закрытых вершин в задаче перколяции ведут себя как SLE(6), и именно это значение параметра \kappa=6 в этих работах было запрещено. В нашей совместной с М. Христофоровым работе мы получаем ответ (в виде явного интеграла) для случая 6 отмеченных точек на границе (и, соответственно, шести дуг). По пути у нас возникают задача Римана-Гильберта, фуксовы дифференциальные уравнения, уравнения Пикара-Фукса и римановы поверхности, а также обобщение этого ответа на случай, когда одна из отмеченных точек находится внутри области.
Zoom-подключение см. на сайте семинара: http://iitp.ru/ru/userpages/74/285.htm
============================================= Если Вы хотите сделать у нас доклад, пожалуйста обсудите это со мной. Михаил Бланк: blank at iitp.ru