Применение (высших) операд в теории деформаций

Так же как с ассоциативной алгеброй связываются модули над ней, с операдой связываются алгебры над ней. Алгебры над операдой Assoc это ассоциативные алгебры, алгебры над операдой Lie это алгебры Ли, и т. д. Таким образом, операды кодируют типы алгебраических структур.
Среди операд есть важное семейство операд $E_n$, $n\geqslant1$, операды маленьких дисков в размерности $n$. Теория деформаций ассоциативных алгебр связана с операдой $E_2$, и эта идея приводит (в работе Д. Тамаркина) к доказательству знаменитой теоремы формальности Концевича. Я начну с обзора этих определений и конструкций. Интересная и не до конца понятая задача — это изучение теории деформаций ассоциативных биалгебр, и соответствующей формальности в ней. Эта задача трехмерна, то есть связана с операдой $E_3$. Классически теория деформаций ассоциативных биалгебр связывалась с комплексом Герстенхабера-Шека, высшая структура на котором неизвестна. Недавно я пришел к понимаю что более правильной является тесно связанная теория деформаций моноидальных дг категорий, и соответствующий комплекс. Я определю этот комплекс и расскажу о подходе к построению высших структур на нем. Это делается посредством глубокого обобщения понятия операды, при котором классические операды заменяются на $n$-операды Батанина.