Аннотация:
Изучается топология лагранжевых слоений с особенностями, возникающих в интегрируемых гамильтоновых системах (ИГС). Две ИГС называются топологически эквивалентными, если соответствующие лагранжевы слоения с особенностями гомеоморфны (все слои предполагаются компактными). Естественными топологическими инвариантами ИГС являются база слоения с естественной стратификацией (бифуркационный комплекс, введенный А.Т. Фоменко в 1988), а также топологические типы особенностей, отвечающих стратам этого комплекса. Возникает вопрос: какие дополнительные топологические инварианты надо добавить, чтобы получить полный топологический инвариант ИГС? Этот вопрос можно переформулировать так. Пусть две ИГС грубо эквивалентны в смысле А.Т. Фоменко, т.е. существует гомеоморфизм между бифуркационными комплексами (базами слоений), который локально (т.е. в малой окрестности любой точки базы) поднимается до послойного гомеоморфизма. Когда данный гомеоморфизм баз поднимается до (глобального) послойного гомеоморфизма?
Решение было известно лишь в некоторых частных случаях: для торических ИГС (в терминах многогранника Дельзанта), а также для почти-торических ИГС с 2 степенями свободы, причем во всех этих случаях предполагалось отсутствие гиперболических особенностей. В общем случае Н.Т. Зунг решил (в 2003) похожую задачу — в которой ИГС предполагаются не только грубо эквивалентными в смысле А.Т. Фоменко, но и грубо эквивалентными в смысле Н.Т. Зунга. Последнее означает существование гомеоморфизма $h$ между базами, набора открытых подмножеств $U_i$ базы и набора поднятий $\Phi_i$ гомеоморфизма $h$ над $U_i$, таких, что на пересечениях $U_i \cap U_j$ поднятия $\Phi_i$ и $\Phi_j$ изотопны в классе поднятий. Однако вопрос о том, когда из грубой эквивалентности в смысле А.Т. Фоменко следует грубая эквивалентность в смысле Н.Т. Зунга, оставался открытым.
В докладе будут сформулированы открытые задачи, описаны известные ранее результаты и наше решение задачи для ИГС с 2 степенями свободы с невырожденными особенностями любых типов (седло, центр, фокус-фокус, центр-центр и седло-центр) кроме седло-седло, при условии односвязности бифуркационного комплекса. Мы покажем, что такие ИГС имеют периодический первый интеграл, и что (дополнительными) топологическими инвариантами являются набор многоугольников Дельзанта и целое число (равное метке n инварианта Фоменко–Цишанга для ограничения слоения на множество уровня периодического интеграла).
|
